Chapter 1: Arithmetic Sequences
This chapter covers number patterns and, in particular, arithmetic sequences.
Concepts and terms
- Number pattern: A collection of numbers ordered by a rule.
- Sequence: Numbers listed as first, second, third, … according to a rule (from Latin “sequent,” meaning “following”).
- Number sequence: A sequence whose elements are numbers (e.g., 1,2,3,…; 2,4,6,…; 1,3,5,…; 1,4,9,…).
- Arithmetic sequence: Starts from a first term and proceeds by repeatedly adding a fixed number called the common difference.
- Terms: The individual numbers (e.g., 1/2 is the first term, 1 is the second term).
- Common difference d: Any term minus the previous term; can be negative if the sequence decreases.
Explanations and details
- Rule of formation: Specify the generating rule or context to determine later terms.
- Identifying arithmetic sequences: A sequence is arithmetic if the difference between consecutive terms is constant.
- Core properties
- From one term to the next, add d.
- From any term to the previous term, subtract d.
- Change in value is proportional to change in position: x_{n+k} − x_n = k·d.
- Middle-term and symmetry sums:
- x_{n-1} + x_{n+1} = 2x_n.
- x_{n-1} + x_n + x_{n+1} = 3x_n (so x_n is one-third of that sum).
- For terms equally distant around a center, sums of symmetric pairs are equal and each equals twice the central term.
- The sum of any odd number of consecutive terms centered at x_m is (number of terms) × x_m.
- Pair-sum invariance: If one position increases by k and the other decreases by k, the pair-sum is unchanged.
- Equal position-sum rule: If i + j = p + q, then x_i + x_j = x_p + x_q.
Solutions and examples
- Finding a later term from an earlier term:
- 3rd term = 37, d = 9 → 10th term increases by 7×9 = 63 → 37 + 63 = 100.
- Recovering the first term:
- 4th term = 45, d = 11 → go back 3 steps: 45 − 3×11 = 12 (first term).
- Decreasing sequence:
- 91, 82, 73,… with d = −9. From 3rd term 73 to 10th term: subtract 7×9 = 63 → 10th term = 10.
- Finding d from two terms:
- 3rd term 37, 7th term 73 → change in position 4, change in value 36 → d = 36/4 = 9.
- Checking membership:
- Sequence 19, 28, 37,…, d = 9. Check if 1000 is a term: 1000 − 19 = 981, divisible by 9 (981/9 = 109) → 1000 is the 110th term.
- Using middle-term sums:
- If T5 + T6 + T7 = 30, then T6 = 30/3 = 10.
- Finding a later term from an earlier term:
Chapter 2: Circles and Angles
This chapter develops relationships among central angles, inscribed angles, arcs, and cyclic quadrilaterals.
Concepts and terms
- Central angle: Angle formed by two radii at the circle’s center.
- Angle on the circle (inscribed angle): Angle formed by joining endpoints of an arc to a point on the circumference.
- Arc: A portion of the circle’s circumference.
- Semicircle: An arc corresponding to 180°.
- Chord: A segment joining two points on the circle.
- Segment of a circle: Region bounded by a chord and its arc; the two segments are alternates of each other.
- Alternate arc: For two points on the circle, each of the two arcs between them is the alternate of the other.
- Cyclic quadrilateral: A quadrilateral with all vertices on a circle.
Explanations and details
- Central–inscribed angle relation: An inscribed angle that subtends a given arc equals half the central angle subtending the same arc (including cases with arcs < 180°, > 180°, and exactly 180°).
- Angle in a semicircle: Always 90° (half of 180°).
- Angles in segments:
- Angles subtending the same arc (i.e., in the same segment) are equal.
- Angles subtending alternate arcs sum to 180°.
- Cyclic quadrilaterals:
- Opposite angles sum to 180°.
- Converse: If a quadrilateral’s opposite angles sum to 180°, it is cyclic.
- If the fourth vertex lies outside the circumcircle of the other three, its angle plus the opposite is < 180°; if inside, the sum is > 180°.
- Examples: Every rectangle; any isosceles trapezium.
- Exterior angle property: An exterior angle at a vertex equals the interior opposite angle.
Solutions and examples
- Angle bisection with a circle: Use a circle and chord constructions to create half of a given angle by symmetry.
- Inscribing a triangle with given angles (e.g., 50°, 60°, 70°): Draw central angles twice each target angle (100°, 120°, 140°) to create corresponding arcs; mark points and join.
- Drawing a perpendicular: Use the right angle in a semicircle to construct a perpendicular at an endpoint.
- Clock-face triangle (1, 4, 8):
- Each step is 30° centrally. Arcs: 1→4: 3 steps → 90° → angle at 8 is 45°. 4→8: 4 steps → 120° → angle at 1 is 60°. 8→1: 5 steps → 150° → angle at 4 is 75°. Triangle angles: 45°, 60°, 75°.
Chapter 3: Arithmetic Sequences and Algebra
This chapter brings algebraic forms for terms and sums of arithmetic sequences.
Concepts and terms
- Algebraic form x_n: A rule tying position n to value x_n (e.g., even numbers: x_n = 2n; odd numbers: x_n = 2n − 1).
- General arithmetic form: x_n = a n + b, where a and b are constants.
- a is the common difference d.
- b = first term − d (i.e., b = f − d).
- Sum of first n terms S_n: Often quadratic in n for arithmetic sequences; S_n = p n^2 + q n.
Explanations and details
- Deriving x_n = a n + b: With first term f and difference d, x_n = f + (n − 1)d = d n + (f − d). Hence a = d, b = f − d.
- Not all sequences have a simple formula (e.g., n-th prime; digits of π).
- Sums:
- 1 + 2 + … + n = (1/2) n(n + 1).
- 2 + 4 + … + 2n = n(n + 1).
- 3 + 6 + … + 3n = (3/2) n(n + 1).
- 1 + 3 + … + (2n − 1) = n^2.
- From x_n = a n + b: S_n = (a/2) n(n + 1) + b n.
- Using first and last terms: S_n = (n/2)(x_1 + x_n).
Solutions and examples
- Finding x_n:
- 1, 6, 11, 16,… → d = 5, f = 1 → x_n = 5n − 4.
- 12, 23, 34,… → d = 11, f = 12 → x_n = 11n + 1.
- Calculating sums:
- 1, 4, 7,… with x_n = 3n − 2. 100th term: 1 + 99×3 = 298. Sum of first 100: (100/2)(1 + 298) = 14,950.
- Alternatively, S_n = (3n^2 − n)/2 → S_100 = (3(100^2) − 100)/2 = 14,950.
- Recovering the sequence from S_n:
- If S_n = 3n^2 + n: x_1 = S_1 = 4; S_2 = 14 → x_2 = 14 − 4 = 10. The sequence is 4, 10, 16,… with d = 6.
- Finding x_n:
Chapter 4: Mathematics of Chance
This chapter defines probability and shows how to compute it in numeric and geometric contexts.
Concepts and terms
- Probability: Likelihood of an event (fraction, decimal, or percent).
- Outcome, favorable outcomes, total outcomes.
- Number probability: Computed from counts of numbers.
- Geometric probability: Computed from ratios of lengths/areas.
- Pairs: Combined outcomes of two events.
- Probability and frequency: With many trials, observed frequency approaches probability (law of large numbers).
Explanations and details
- Probability = favorable outcomes / total outcomes (assuming equally likely outcomes).
- Comparing probabilities: Compare fractions (or decimals).
- Counting divisors (useful in some problems): If N = p^a q^b … then number of positive factors is (a+1)(b+1)….
- Example: 1000 = 2^3 · 5^3 → (3+1)(3+1) = 16 factors.
- Monte Carlo method: Estimate an area by random sampling in a known region (e.g., fraction of dots inside a shape times the known area).
- Total number of ordered pairs: If there are m choices for the first event and n for the second, total pairs = m n.
- “At least one” strategy:
- Add probabilities of all scenarios where the condition holds; or
- Compute 1 − P(none) (often simpler).
Solutions and examples
- Beads in a box: 6 black, 5 white → P(black) = 6/11; P(white) = 5/11.
- Slips 1–25: 12 even, 13 odd → P(even) = 12/25; P(odd) = 13/25.
- Geometric probability:
- Square formed by joining midpoints of a larger square has half the area → probability = 1/2.
- Triangle formed by joining midpoints of opposite sides of a rectangle has half the area → probability = 1/2.
- Circle inscribed in a square of side 2r: P(dot in circle) = (π r^2)/(4 r^2) = π/4.
- Pairs of events:
- 2 pants × 3 shirts → 6 outfits.
- Box A {1,2,3,4}, Box B {1,2}: total pairs 8; both odd: (1,1), (3,1) → 2/8 = 1/4.
- Box A {1–10}, Box B {1–5}: total 50; both odd: 5 × 3 = 15 → 15/50 = 3/10.
- Mango baskets:
- Basket 1: 50 mangoes, 30 ripe; Basket 2: 40 mangoes, 25 ripe; total pairs = 2000.
- Both ripe: 30 × 25 = 750 → 750/2000 = 3/8.
- At least one ripe: 1 − P(both unripe) = 1 − (20×15)/2000 = 1 − 300/2000 = 1700/2000 = 17/20.
Chapter 5: Second-Degree Equations (Quadratics)
This chapter introduces quadratic equations and solving them by completing the square.
Concepts and terms
- Quadratic (second-degree) equation: Involves a term x^2 (e.g., x^2 + 2x + 1 = 100; x^2 + 20x = 224).
- Completing the square: Reshape x^2 + 2ax into (x + a)^2 by adding a^2 (or similarly for x^2 − 2ax).
- Multiple solutions: Quadratics often produce two roots; context determines which are admissible.
Explanations and details
- Translate word problems (areas, perimeters, products) into equations.
- Completing the square examples:
- x^2 + 2x = 224 → (x + 1)^2 = 225 → x + 1 = ±15.
- x^2 + 20x = 224 → (x + 10)^2 = 324 → x + 10 = ±18.
- x^2 − 2x = 99 → (x − 1)^2 = 100 → x − 1 = ±10.
- x^2 + 5x = 24 → (x + 5/2)^2 = 24 + 25/4 = 121/4 → x + 5/2 = ±11/2.
- 50x − x^2 = 525 → x^2 − 50x = −525 → (x − 25)^2 = 100 → x − 25 = ±10.
- Interpreting roots:
- Algebraically, X^2 = N → X = ±√N.
- In measurements (lengths, counts), negative values are typically invalid.
- Sometimes both roots lead to the same real-world configuration (e.g., rectangle sides 15 and 35).
Solutions and examples
- Enlarged square: If a new square has area 36 m^2 and its side is 1 m more than the original, new side = 6 m → original side = 5 m.
- x^2 + 2x + 1 = 100 → (x + 1)^2 = 100 → x = 9 (taking the positive length).
- Consecutive even numbers: Let x and x + 2 with x(x + 2) + 1 = 289 → (x + 1)^2 = 289 → x = 16 → numbers 16 and 18.
- Rectangle with sides x and x + 2, area 224 → x^2 + 2x = 224 → x = 14 → sides 14 m and 16 m.
- AP sum to a given total: 99, 97, 95,… with d = −2 has S_n = 100n − n^2. If S_n = 900 → n^2 − 100n + 900 = 0 → (n − 50)^2 = 1600 → n = 10 or 90.
Chapter 6: Trigonometry
This chapter introduces sine, cosine, and tangent, and applies them to triangles and distance problems.
Concepts and terms
- Right triangle: Contains a 90° angle.
- Special triangles:
- 45°–45°–90°: side ratios 1 : 1 : √2.
- 30°–60°–90°: side ratios 1 : √3 : 2 (hypotenuse is twice the shorter leg).
- Trigonometric ratios (for an angle a° in a right triangle):
- sin a° = opposite / hypotenuse.
- cos a° = adjacent / hypotenuse.
- tan a° = opposite / adjacent.
- Angle of elevation: Angle from horizontal up to the object.
- Angle of depression: Angle from horizontal down to the object.
- Circumcircle and circumradius: Circle through a polygon’s vertices; its radius is the circumradius.
- Radian measure: Angle measure as arc length divided by radius.
Explanations and details
- Similar triangles: Corresponding side ratios are constant if angles match.
- Triangle area via trigonometry: Area = (1/2)·ab·sin(C), where C is the included angle between sides a, b.
- Chord length: For radius r and central angle θ, chord = 2r·sin(θ/2).
- Sine rule: a/sin A = b/sin B = c/sin C.
- Measuring heights/distances: Use tangent with measured angles (e.g., clinometer).
Solutions and examples
- Isosceles triangle with apex 120° and equal sides 2 cm:
- Drop a perpendicular to the base: half-apex = 60°.
- Height = 2·cos 60° = 1 cm. Half-base = 2·sin 60° = √3 cm → base = 2√3 cm.
- Area = (1/2)·(2√3)·1 = √3 cm².
- Rectangles to form an equilateral hexagon (side 30 cm) via 30–60–90 triangles:
- If the diagonal cut yields a 30–60–90 triangle with hypotenuse 30 cm, short leg = 15 cm, long leg = 15√3 cm (rectangle sides).
- Triangle area with sides 8 cm and 10 cm and included angle 40°:
- Area = (1/2)·8·10·sin 40° ≈ 25.71 cm².
- Chord length with r = 2.5 cm and central angle 100°:
- Chord = 2·2.5·sin 50° ≈ 5·0.7660 ≈ 3.83 cm.
- Circumradius of an equilateral triangle with side 3 cm:
- R = side/√3 = 3/√3 = √3 cm.
- Height of a tree:
- Observer 1.7 m tall, 10 m away, elevation 40° → height above eye = 10·tan 40° ≈ 8.391 m → total ≈ 10.091 m.
- Distance to a boat from a 26.8 m eye-height (25 m lighthouse + 1.8 m person), depression 35°:
- Horizontal distance = 26.8 / tan 35° ≈ 38.27 m.
- Isosceles triangle with apex 120° and equal sides 2 cm:
Chapter 7: Coordinates
This chapter introduces Cartesian coordinates and distance calculations.
Concepts and terms
- Axes: Perpendicular lines (x-axis horizontal, y-axis vertical).
- Origin O: Intersection (0, 0).
- Coordinates (x, y): Horizontal (x) and vertical (y) positions.
- Rectangles with sides parallel to axes: Vertical sides share x-coordinates; horizontal sides share y-coordinates.
Explanations and details
- Plotting: Move along x, then move vertically to y.
- Drawing figures: Plot vertices, then connect.
- Coordinate properties:
- Points on x-axis: y = 0. On y-axis: x = 0.
- Lines parallel to x-axis: same y. Lines parallel to y-axis: same x.
- Distance formula:
- Between (x1, y1) and (x2, y2): √[(x1 − x2)² + (y1 − y2)²].
- Same x: |y1 − y2|. Same y: |x1 − x2|.
- From origin to (x, y): √(x² + y²).
- Collinearity test: For three points, if the largest pairwise distance equals the sum of the other two, the points are collinear.
Solutions and examples
- Rectangle vertices: Given opposite vertices (x1, y1) and (x2, y2), the other two are (x1, y2) and (x2, y1).
- Rectangle side lengths: Horizontal = |x1 − x2|; vertical = |y1 − y2|.
- Distances:
- (2, 5) to (6, 6): √[(-4)² + (-1)²] = √17.
- (4, −2) to (−3, −1): √[7² + (−1)²] = √50 = 5√2.
- Right triangle check (2,1), (3,4), (−3,6):
- d1² = 10, d2² = 40, d3² = 50, and 10 + 40 = 50 → right triangle (Pythagorean).
- Interior point in a rectangle:
- Let rectangle vertices be (0,0), (a,0), (0,b), (a,b), and interior point (x,y).
- Given three distances to three vertices, use the distance formula to solve for x and y; then the fourth distance is √[(x − a)² + (y − b)²].
- In the example provided, this fourth distance equals √18 = 3√2.
അദ്ധ്യായം 1: സമാന്തരശ്രേണികൾ
ഈ അദ്ധ്യായം സംഖ്യാ പാറ്റേണുകളെയും, പ്രത്യേകിച്ച് സമാന്തരശ്രേണികളെയും കുറിച്ച് വിശദീകരിക്കുന്നു.
ആശയങ്ങളും പദങ്ങളും
സംഖ്യാ പാറ്റേൺ: ഒരു നിയമം അനുസരിച്ച് ക്രമീകരിച്ച സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം.
ശ്രേണി: ഒരു നിയമമനുസരിച്ച് ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന് എന്നിങ്ങനെ ക്രമീകരിച്ച സംഖ്യകൾ. 'തുടർന്നുവരുന്നത്' എന്ന് അർത്ഥം വരുന്ന 'സെക്വന്റ്' എന്ന ലാറ്റിൻ വാക്കിൽ നിന്നാണ് 'സീക്വൻസ്' എന്ന ഇംഗ്ലീഷ് വാക്ക് വന്നത്.
സംഖ്യാശ്രേണി: സംഖ്യകൾ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ശ്രേണി (ഉദാഹരണത്തിന്, എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ 1,2,3,…; ഇരട്ടസംഖ്യകൾ 2,4,6,…; ഒറ്റസംഖ്യകൾ 1,3,5,…; എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങൾ 1,4,9,…).
സമാന്തരശ്രേണി: ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്ന് തുടങ്ങി, ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ വീണ്ടും വീണ്ടും കൂട്ടി മുന്നോട്ട് പോകുന്ന ശ്രേണി. ഈ നിശ്ചിത സംഖ്യയെ പൊതുവ്യത്യാസം എന്ന് പറയുന്നു.
പദങ്ങൾ: ഒരു ശ്രേണിയിലെ ഓരോ സംഖ്യകളും (ഉദാ: 1/2 ആദ്യപദം, 1 രണ്ടാം പദം).
പൊതുവ്യത്യാസം (d): ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിലെ ഏത് പദത്തിൽ നിന്നും അതിന്റെ തൊട്ടുമുമ്പുള്ള പദം കുറച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ. ഇത് പദങ്ങൾക്കിടയിലെ സ്ഥിരമായ വർദ്ധനവിനെയോ കുറവിനെയോ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യ കുറയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതൊരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ കൂട്ടുന്നതായി കണക്കാക്കാം.
വിശദീകരണങ്ങളും വിശദാംശങ്ങളും
രൂപീകരണ നിയമം: ഒരു ശ്രേണിയിലെ തുടർന്നുള്ള പദങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ അതിന്റെ രൂപീകരണ നിയമം വ്യക്തമാക്കണം.
സമാന്തരശ്രേണി തിരിച്ചറിയൽ: തുടർച്ചയായ രണ്ട് പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം തുല്യമാണെങ്കിൽ ആ ശ്രേണി സമാന്തരശ്രേണിയാണ്.
പ്രധാന സവിശേഷതകൾ:
ഒരു പദത്തിൽ നിന്ന് അടുത്ത പദത്തിലേക്ക് പോകാൻ പൊതുവ്യത്യാസം കൂട്ടുന്നു.
ഒരു പദത്തിൽ നിന്ന് പിന്നിലുള്ള പദത്തിലേക്ക് പോകാൻ പൊതുവ്യത്യാസം കുറയ്ക്കുന്നു.
പദങ്ങളിലെ മാറ്റം സ്ഥാനങ്ങളിലെ മാറ്റത്തിന് ആനുപാതികമാണ്: x_{n+k} − x_n = k·d.
മദ്ധ്യപദവും തുകയും:
ഒരു പദത്തിന് തൊട്ടുമുമ്പുള്ളതും ശേഷമുള്ളതുമായ പദങ്ങളുടെ തുക ആ പദത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്: x_{n-1} + x_{n+1} = 2x_n.
തുടർച്ചയായ മൂന്ന് പദങ്ങളുടെ തുക മദ്ധ്യപദത്തിന്റെ മൂന്നിരട്ടിയാണ്.
ഒരു മദ്ധ്യപദത്തിന് ഇരുവശത്തും ഒരേ അകലത്തിലുള്ള പദങ്ങളുടെ തുക, ആ മദ്ധ്യപദത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്.
തുടർച്ചയായ ഒറ്റയെണ്ണൽ പദങ്ങളുടെ തുക, (പദങ്ങളുടെ എണ്ണം) × (മദ്ധ്യപദം) ആയിരിക്കും.
ജോഡി തുകയിലെ സ്ഥിരത: ഒരു സ്ഥാനം k വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും മറ്റൊന്ന് k കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്താൽ, ആ സ്ഥാനങ്ങളിലെ പദങ്ങളുടെ തുക മാറുന്നില്ല.
തുല്യ സ്ഥാന-തുക നിയമം: സ്ഥാനങ്ങളുടെ തുക തുല്യമാണെങ്കിൽ (i + j = p + q), പദങ്ങളുടെ തുകയും തുല്യമായിരിക്കും (x_i + x_j = x_p + x_q).
പരിഹാരങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും
ഒരു പദത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു പദം കണ്ടെത്തൽ: 3-ാം പദം = 37, d = 9 → 10-ാം പദം കണ്ടെത്താൻ സ്ഥാനം 7 കൂടുന്നു (10-3), അതിനാൽ പദം 7×9 = 63 വർദ്ധിക്കുന്നു → 37 + 63 = 100.
ആദ്യപദം കണ്ടെത്തൽ: 4-ാം പദം = 45, d = 11 → 3 സ്ഥാനങ്ങൾ പിന്നോട്ട് പോകണം: 45 − (3×11) = 12 (ആദ്യപദം).
കുറഞ്ഞുവരുന്ന ശ്രേണി: 91, 82, 73,… (d = −9). 3-ാം പദമായ 73-ൽ നിന്ന് 10-ാം പദത്തിലേക്ക് 7 സ്ഥാനങ്ങൾ മുന്നോട്ട്, അതിനാൽ 7×9 = 63 കുറയ്ക്കണം → 10-ാം പദം = 10.
രണ്ട് പദങ്ങളിൽ നിന്ന് d കണ്ടെത്തൽ: 3-ാം പദം 37, 7-ാം പദം 73 → സ്ഥാന വ്യത്യാസം 4, പദങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം 36 → d = 36/4 = 9.
ഒരു സംഖ്യ ശ്രേണിയിലെ പദമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കൽ: 19, 28, 37,… (d=9) എന്ന ശ്രേണിയിൽ 1000 ഒരു പദമാണോ? 1000-ൽ നിന്ന് ഒരു പദം കുറയ്ക്കുക (1000 – 19 = 981). ഇത് പൊതുവ്യത്യാസമായ 9-ന്റെ ഗുണിതമാണോ എന്ന് നോക്കുക (981 ÷ 9 = 109). അതെ, അതിനാൽ 1000 ഈ ശ്രേണിയിലെ 110-ാം പദമാണ്.
മദ്ധ്യപദം ഉപയോഗിച്ച് തുക കണ്ടെത്തൽ: 5, 6, 7 പദങ്ങളുടെ തുക 30 ആയാൽ, 6-ാം പദം (മദ്ധ്യപദം) = 30 / 3 = 10.
അദ്ധ്യായം 2: വൃത്തങ്ങളും കോണുകളും
ഈ അദ്ധ്യായം വൃത്തത്തിലെ കോണുകൾ, ചാപങ്ങൾ, ചക്രീയ ചതുർഭുജങ്ങൾ എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങളെക്കുറിച്ച് പ്രതിപാദിക്കുന്നു.
ആശയങ്ങളും പദങ്ങളും
കേന്ദ്രകോൺ: വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ രണ്ട് ആരങ്ങൾ ചേർന്നുണ്ടാക്കുന്ന കോൺ.
വൃത്തത്തിലെ കോൺ (പരിധിയിലെ കോൺ): ഒരു ചാപത്തിന്റെ അറ്റങ്ങൾ വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവുമായി യോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന കോൺ.
ചാപം (Arc): വൃത്തപരിധിയുടെ ഒരു ഭാഗം.
അർദ്ധവൃത്തം: വൃത്തത്തിന്റെ പകുതിയായ ചാപം (കേന്ദ്രകോൺ 180°).
ഞാൺ (Chord): വൃത്തത്തിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളെ യോജിപ്പിക്കുന്ന വര.
വൃത്തഖണ്ഡം (Segment): ഒരു ഞാണും ചാപവും ചേർന്ന പ്രദേശം.
മറിചാപം (Alternate arc): ഒരു ഞാൺ വൃത്തത്തെ രണ്ട് ചാപങ്ങളായി വിഭജിക്കുമ്പോൾ, ഓരോ ചാപവും മറ്റേതിന്റെ മറിചാപമാണ്.
ചക്രീയ ചതുർഭുജം: നാല് മൂലകളും വൃത്തത്തിൽ വരുന്ന ചതുർഭുജം.
വിശദീകരണങ്ങളും വിശദാംശങ്ങളും
കേന്ദ്രകോണും വൃത്തത്തിലെ കോണും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം: ഒരു ചാപം അതിന്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണിന്റെ പകുതിയായിരിക്കും ആ ചാപം അതിന്റെ മറിചാപത്തിലെ ഏത് ബിന്ദുവിലും ഉണ്ടാക്കുന്ന കോൺ.
അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ കോൺ: എപ്പോഴും മട്ടകോൺ (90°) ആയിരിക്കും. ഇത് മുകളിലെ നിയമത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക രൂപമാണ് (കേന്ദ്രകോൺ 180°, അതിന്റെ പകുതി 90°).
വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾ:
ഒരേ വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾ തുല്യമാണ്.
ഒരു ഞാണിന്റെ രണ്ടറ്റങ്ങൾ മറുചാപത്തിലെ ഏത് ബിന്ദുവുമായി യോജിപ്പിച്ചാലും കിട്ടുന്ന കോണുകൾ തുല്യമാണ്.
ചക്രീയ ചതുർഭുജങ്ങൾ:
ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ മൂലകൾ ഒരു വൃത്തത്തിലാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ എതിർവശത്തുള്ള കോണുകളുടെ തുക 180° ആയിരിക്കും.
വിപരീത സിദ്ധാന്തം: ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ എതിർവശത്തുള്ള കോണുകളുടെ തുക 180° ആണെങ്കിൽ, അതിന്റെ നാല് മൂലകളിലൂടെയും കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കാൻ സാധിക്കും.
നാലാമത്തെ ശീർഷം വൃത്തത്തിന് പുറത്താണെങ്കിൽ, ആ കോണും എതിർകോണും കൂട്ടിയാൽ 180°-ൽ കുറവായിരിക്കും. ഉള്ളിലാണെങ്കിൽ 180°-ൽ കൂടുതലായിരിക്കും.
ഉദാഹരണങ്ങൾ: എല്ലാ ചതുരങ്ങളും, സമപാർശ്വ ലംബകങ്ങളും ചക്രീയമാണ്.
ഒരു ചക്രീയ ചതുർഭുജത്തിന്റെ ഏതൊരു മൂലയിലെയും ബാഹ്യകോൺ, അതിന്റെ ആന്തര എതിർകോണിന് തുല്യമായിരിക്കും.
പരിഹാരങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും
ഒരു കോണിന്റെ പകുതി വരയ്ക്കൽ: ഒരു വൃത്തം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു കോണിന്റെ പകുതി വരയ്ക്കാം.
വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ ത്രികോണം വരയ്ക്കൽ: 50°, 60°, 70° കോണുകളുള്ള ത്രികോണം വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ വരയ്ക്കാൻ, ഓരോ കോണിന്റെയും ഇരട്ടി കേന്ദ്രകോണുകളായി (100°, 120°, 140°) വരച്ച് ബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിക്കുക.
ലംബം വരയ്ക്കൽ: അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ കോൺ മട്ടകോണാണെന്ന തത്വം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു വരയുടെ അറ്റത്ത് ലംബം വരയ്ക്കാം.
ക്ലോക്കിലെ ത്രികോണം (1, 4, 8): ക്ലോക്കിലെ ഓരോ സംഖ്യയും 360/12 = 30° കേന്ദ്രകോണിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.
1-നും 4-നും ഇടയിലുള്ള ചാപം (3 ഭാഗം): കേന്ദ്രകോൺ 90°, അതിനാൽ 8-ലെ കോൺ 45°.
4-നും 8-നും ഇടയിൽ (4 ഭാഗം): കേന്ദ്രകോൺ 120°, അതിനാൽ 1-ലെ കോൺ 60°.
8-നും 1-നും ഇടയിൽ (5 ഭാഗം): കേന്ദ്രകോൺ 150°, അതിനാൽ 4-ലെ കോൺ 75°.
ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകൾ 45°, 60°, 75°.
അദ്ധ്യായം 3: സമാന്തരശ്രേണികളും ബീജഗണിതവും
ഈ അദ്ധ്യായം സമാന്തരശ്രേണികളുടെ ബീജഗണിത രൂപങ്ങളും പദങ്ങളുടെ തുക കാണാനുള്ള രീതികളും പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു.
ആശയങ്ങളും പദങ്ങളും
ബീജഗണിതരൂപം (x_n): ഒരു ശ്രേണിയിലെ പദത്തിന്റെ സ്ഥാനവും (n) വിലയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കാണിക്കുന്ന ഗണിതവാക്യം (ഉദാ: ഇരട്ടസംഖ്യകൾ: x_n = 2n; ഒറ്റസംഖ്യകൾ: x_n = 2n - 1).
സമാന്തരശ്രേണിയുടെ പൊതുവായ ബീജഗണിതരൂപം: x_n = an + b, ഇവിടെ a, b എന്നിവ സ്ഥിരസംഖ്യകളാണ്.
'a' പൊതുവ്യത്യാസം (d) ആണ്.
'b' എന്നത് (ആദ്യപദം - പൊതുവ്യത്യാസം) അഥവാ (f - d) ആണ്.
ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ തുക (S_n): സമാന്തരശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ n പദങ്ങൾ കൂട്ടുമ്പോൾ കിട്ടുന്ന ആകെത്തുക. ഇതിന്റെ ബീജഗണിത രൂപം S_n = pn² + qn എന്നായിരിക്കും.
വിശദീകരണങ്ങളും വിശദാംശങ്ങളും
x_n = an + b എന്ന രൂപം കണ്ടെത്തുന്നത്: ആദ്യപദം f-ഉം പൊതുവ്യത്യാസം d-യും ആയാൽ, n-ാം പദം f + (n-1)d ആണ്. ഇത് dn + (f-d) എന്ന് മാറ്റി എഴുതാം. അതിനാൽ a = d, b = f-d.
എല്ലാ ശ്രേണികൾക്കും ബീജഗണിതരൂപം കണ്ടെത്താൻ കഴിയില്ല (ഉദാ: അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ശ്രേണി).
തുകകൾ:
ആദ്യത്തെ n എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ തുക: 1 + 2 + … + n = (1/2) n(n + 1).
ആദ്യത്തെ n ഇരട്ടസംഖ്യകളുടെ തുക: 2 + 4 + … + 2n = n(n + 1).
ആദ്യത്തെ n ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ തുക: 1 + 3 + … + (2n - 1) = n².
x_n = an + b എന്ന ശ്രേണിയുടെ തുക: S_n = (a/2) n(n + 1) + bn.
ആദ്യപദവും അവസാനപദവും ഉപയോഗിച്ച് തുക: S_n = (n/2)(x₁ + xₙ).
പരിഹാരങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും
ബീജഗണിതരൂപം കണ്ടെത്തൽ:
1, 6, 11, 16,… → d = 5, f = 1 → x_n = 5n - 4.
12, 23, 34,… → d = 11, f = 12 → x_n = 11n + 1.
തുക കണക്കാക്കൽ:
1, 4, 7,… എന്ന ശ്രേണിയുടെ (x_n = 3n-2) ആദ്യ 100 പദങ്ങളുടെ തുക: 100-ാം പദം = 1 + 99×3 = 298. തുക = (100/2)(1 + 298) = 14950.
തുകയിൽ നിന്ന് ശ്രേണി കണ്ടെത്തൽ:
S_n = 3n² + n ആയാൽ:
1-ാം പദം (n=1): 3(1)² + 1 = 4.
ആദ്യ 2 പദങ്ങളുടെ തുക (n=2): 3(2)² + 2 = 14.
2-ാം പദം = 14 - 4 = 10.
ശ്രേണി: 4, 10, 16,… (d=6).
അദ്ധ്യായം 4: സാധ്യതകളുടെ ഗണിതം
ഈ അദ്ധ്യായം സാധ്യത എന്ന ആശയം, അത് എങ്ങനെ അളക്കാം, വിവിധ സാഹചര്യങ്ങളിൽ എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാം എന്നിവയെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു.
ആശയങ്ങളും പദങ്ങളും
സാധ്യത (Probability): ഒരു സംഭവം നടക്കാനുള്ള സാധ്യതയുടെ സംഖ്യാപരമായ അളവ്.
ഫലം (Outcome), അനുകൂല ഫലങ്ങൾ, ആകെ ഫലങ്ങൾ.
സംഖ്യാപരമായ സാധ്യത: സംഖ്യകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി കണക്കാക്കുന്ന സാധ്യത.
ജ്യാമിതീയ സാധ്യത: നീളം, വിസ്തീർണ്ണം എന്നിവയുടെ അനുപാതം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്ന സാധ്യത.
ജോഡികൾ: രണ്ട് സംഭവങ്ങൾ നടക്കുമ്പോൾ, ഫലങ്ങളെ ജോഡികളായി എഴുതാം.
സാധ്യതയും ആവൃത്തിയും: ധാരാളം തവണ ഒരു പരീക്ഷണം ആവർത്തിക്കുമ്പോൾ, ഒരു സംഭവം നടക്കാനുള്ള ആവൃത്തി അതിന്റെ സാധ്യതയോട് അടുക്കുന്നു.
വിശദീകരണങ്ങളും വിശദാംശങ്ങളും
സാധ്യത കണക്കാക്കൽ: സാധ്യത = (അനുകൂല ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം) / (ആകെ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം).
സാധ്യതകൾ താരതമ്യം ചെയ്യൽ: ഭിന്നസംഖ്യകൾ താരതമ്യം ചെയ്ത് ഏത് തിരഞ്ഞെടുപ്പാണ് മികച്ചതെന്ന് കണ്ടെത്താം.
ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങൾ: ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, അതിനെ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ കൃതികളായി എഴുതുക. ഓരോ കൃതിയോടും 1 കൂട്ടി ഗുണിക്കുക. (ഉദാ: 1000 = 2³ × 5³ → (3+1)(3+1) = 16 ഘടകങ്ങൾ).
മോണ്ടി കാർലോ രീതി: സങ്കീർണ്ണമായ രൂപങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ സാധ്യതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു രീതി.
ആകെ ജോഡികളുടെ എണ്ണം: ആദ്യ സംഭവത്തിന് m സാധ്യതകളും രണ്ടാമത്തേതിന് n സാധ്യതകളും ഉണ്ടെങ്കിൽ, ആകെ ജോഡികളുടെ എണ്ണം m × n ആയിരിക്കും.
"കുറഞ്ഞത് ഒന്ന്" എന്നതിൻ്റെ സാധ്യത:
രീതി 1: കുറഞ്ഞത് ഒന്നെങ്കിലും അനുകൂലമായ എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളുടെയും സാധ്യതകൾ കൂട്ടുക.
രീതി 2: വിപരീത സംഭവത്തിന്റെ (ഒന്നും അനുകൂലമല്ലാത്ത) സാധ്യത കണ്ടെത്തി 1-ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക.
പരിഹാരങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും
പെട്ടിയിലെ മുത്തുകൾ: ഒരു പെട്ടിയിൽ 6 കറുപ്പും 5 വെളുപ്പും മുത്തുകൾ (ആകെ 11) ഉണ്ടെങ്കിൽ, കറുപ്പ് കിട്ടാനുള്ള സാധ്യത 6/11, വെളുപ്പ് 5/11.
കടലാസ് തുണ്ടുകളിലെ സംഖ്യകൾ: 1 മുതൽ 25 വരെയുള്ള സംഖ്യകളിൽ 12 ഇരട്ടസംഖ്യകളും 13 ഒറ്റസംഖ്യകളുമുണ്ട്. ഇരട്ടസംഖ്യ കിട്ടാനുള്ള സാധ്യത 12/25, ഒറ്റസംഖ്യ 13/25.
ജ്യാമിതീയ സാധ്യത:
ഒരു വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ യോജിപ്പിച്ചുണ്ടാക്കുന്ന സമചതുരത്തിന് വലിയ സമചതുരത്തിന്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണമേയുള്ളൂ. സാധ്യത = 1/2.
ഒരു ചതുരത്തിനകത്ത് കൃത്യമായി ഒതുങ്ങുന്ന വൃത്തം: സാധ്യത = π/4.
രണ്ട് സംഭവങ്ങളുടെ ജോഡികൾ:
2 പാൻ്റ്സ്, 3 ഷർട്ട് → 2×3 = 6 വസ്ത്രധാരണ രീതികൾ.
പെട്ടി A {1,2,3,4}, പെട്ടി B {1,2}: ആകെ 8 ജോഡികൾ. രണ്ടും ഒറ്റസംഖ്യ ആകാനുള്ള സാധ്യത (1,1), (3,1) → 2/8 = 1/4.
മാങ്ങകളുടെ പ്രശ്നം: കുട്ട 1: 50 മാങ്ങ, 30 പഴുത്തത്. കുട്ട 2: 40 മാങ്ങ, 25 പഴുത്തത്. ആകെ ജോഡികൾ = 50 × 40 = 2000.
രണ്ടും പഴുത്തത്: 30 × 25 = 750 ജോഡികൾ. സാധ്യത = 750/2000 = 3/8.
കുറഞ്ഞത് ഒരെണ്ണമെങ്കിലും പഴുത്തത്: ആകെ ജോഡികൾ - (രണ്ടും പഴുക്കാത്ത ജോഡികൾ) = 2000 - (20 × 15) = 1700. സാധ്യത = 1700/2000 = 17/20.
അദ്ധ്യായം 5: രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങൾ
ഈ അദ്ധ്യായം രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങളും അവയുടെ നിർദ്ധാരണ രീതിയായ 'വർഗ്ഗം തികയ്ക്കലും' പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു.
ആശയങ്ങളും പദങ്ങളും
രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യം (Quadratic equation): ഒരു ചരത്തിന്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന കൃതി രണ്ടായി വരുന്ന സമവാക്യം (ഉദാ: x² + 2x + 1 = 100).
വർഗ്ഗം തികയ്ക്കൽ (Completing the square): രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങളെ ഒരു പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമാക്കി മാറ്റി നിർദ്ധാരണം ചെയ്യുന്ന രീതി. (ഉദാ: x² + 2ax + a² = (x + a)²).
ഒന്നിലധികം പരിഹാരങ്ങൾ: രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങൾക്ക് സാധാരണയായി രണ്ട് ഉത്തരങ്ങൾ ലഭിക്കാം.
വിശദീകരണങ്ങളും വിശദാംശങ്ങളും
പ്രശ്നങ്ങളെ ബീജഗണിതത്തിലേക്ക് മാറ്റൽ: വിസ്തീർണ്ണം, ചുറ്റളവ്, ഗുണനഫലം എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങളെ രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങളാക്കി മാറ്റാം.
വർഗ്ഗം തികയ്ക്കൽ രീതി:
x² + 2x = 224: ഇരുവശത്തും 1 ചേർത്താൽ (x+1)² = 225. അതിനാൽ x+1 = 15 അല്ലെങ്കിൽ x+1 = -15.
x² + 20x = 224: 20x = 2ax ആകുമ്പോൾ a=10. ഇരുവശത്തും 10² = 100 ചേർക്കുക. (x+10)² = 324. അതിനാൽ x+10 = 18 അല്ലെങ്കിൽ x+10 = -18.
x² + 5x = 24: 5x = 2ax ആകുമ്പോൾ a = 5/2. ഇരുവശത്തും (5/2)² = 25/4 ചേർക്കുക. (x + 5/2)² = 121/4.
ഒന്നിലധികം പരിഹാരങ്ങളെ വ്യാഖ്യാനിക്കൽ:
ബീജഗണിതപരമായി, X² = N എന്നതിനർത്ഥം X = √N അല്ലെങ്കിൽ X = -√N.
പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങളിൽ (നീളം, എണ്ണം) പോസിറ്റീവ് വിലകൾ മാത്രമേ സ്വീകാര്യമാകൂ.
പരിഹാരങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും
വിസ്തീർണ്ണം കൂടിയ സമചതുരം: പുതിയ സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 36 ആണെങ്കിൽ, വശം 6 മീറ്റർ. പഴയ വശം = 6 - 1 = 5 മീറ്റർ.
തുടർച്ചയായ ഇരട്ടസംഖ്യകൾ: സംഖ്യകൾ x, x+2. x(x+2) + 1 = 289 → x² + 2x + 1 = 289 → (x+1)² = 289 → x+1 = 17. സംഖ്യകൾ 16, 18.
ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങൾ: ചെറിയ വശം x, വലിയ വശം x+2. വിസ്തീർണ്ണം x(x+2) = 224 → x² + 2x = 224. നിർദ്ധാരണം ചെയ്യുമ്പോൾ x=14. വശങ്ങൾ 14 മീറ്റർ, 16 മീറ്റർ.
സമാന്തരശ്രേണിയിലെ തുക: 99, 97, 95,… എന്ന ശ്രേണിയുടെ തുക 900 ആയാൽ: 100n - n² = 900 → (n - 50)² = 1600 → n = 90 അല്ലെങ്കിൽ n = 10. ആദ്യ 10 പദങ്ങളുടെ തുകയും ആദ്യ 90 പദങ്ങളുടെ തുകയും 900 ആണ്.
അദ്ധ്യായം 6: ത്രികോണമിതി
ഈ അദ്ധ്യായം ത്രികോണമിതി അംശബന്ധങ്ങളായ സൈൻ, കോസൈൻ, ടാൻജെന്റ് എന്നിവയും അവയുടെ പ്രയോഗങ്ങളും പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു.
ആശയങ്ങളും പദങ്ങളും
മട്ടത്രികോണം: ഒരു കോൺ 90° ആയ ത്രികോണം.
പ്രത്യേക ത്രികോണങ്ങൾ:
45°, 45°, 90° ത്രികോണം: വശങ്ങളുടെ അംശബന്ധം 1 : 1 : √2.
30°, 60°, 90° ത്രികോണം: വശങ്ങളുടെ അംശബന്ധം 1 : √3 : 2.
ത്രികോണമിതി അംശബന്ധങ്ങൾ: ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിലെ കോണുകളും വശങ്ങളും തമ്മിലുള്ള സ്ഥിരമായ അംശബന്ധങ്ങൾ.
സൈൻ (sin a°): എതിർവശം / കർണ്ണം.
കോസൈൻ (cos a°): സമീപവശം / കർണ്ണം.
ടാൻജെന്റ് (tan a°): എതിർവശം / സമീപവശം.
മേൽക്കോൺ (Angle of Elevation): തിരശ്ചീനമായ നോട്ടത്തിൽ നിന്ന് മുകളിലുള്ള ഒരു വസ്തുവിലേക്ക് നോക്കുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന കോൺ.
കീഴ്ക്കോൺ (Angle of Depression): തിരശ്ചീനമായ നോട്ടത്തിൽ നിന്ന് താഴെയുള്ള ഒരു വസ്തുവിലേക്ക് നോക്കുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന കോൺ.
പരിവൃത്തം, പരിവൃത്ത ആരം: ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ എല്ലാ മൂലകളിലൂടെയും കടന്നുപോകുന്ന വൃത്തവും അതിന്റെ ആരവും.
വിശദീകരണങ്ങളും വിശദാംശങ്ങളും
സദൃശ്യ ത്രികോണങ്ങളിലെ വശങ്ങൾ ഒരേ അംശബന്ധത്തിലായിരിക്കും.
ത്രികോണമിതി ഉപയോഗിച്ച് വിസ്തീർണ്ണം: വിസ്തീർണ്ണം = (1/2) × ab × sin(C).
ഞാണിന്റെ നീളം: ഒരു വൃത്തത്തിലെ ഞാണിന്റെ നീളം, ആരത്തിന്റെയും കേന്ദ്രകോണിന്റെ പകുതിയുടെ സൈനിന്റെയും ഗുണനഫലത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്: നീളം = 2r × sin(കേന്ദ്രകോൺ / 2).
സൈൻ നിയമം: a/sin A = b/sin B = c/sin C.
ഉയരങ്ങളും ദൂരങ്ങളും അളക്കൽ: നേരിട്ട് അളക്കാൻ കഴിയാത്ത ഉയരങ്ങളും ദൂരങ്ങളും ക്ലൈനോമീറ്റർ പോലുള്ള ഉപകരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കോണുകൾ അളന്ന് ത്രികോണമിതി വഴി കണ്ടെത്താം.
പരിഹാരങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും
സമഭുജ ഷഡ്ഭുജം നിർമ്മിക്കാൻ: 30 സെ.മീ വശമുള്ള സമഭുജ ഷഡ്ഭുജം നിർമ്മിക്കാൻ ആവശ്യമായ ചതുരങ്ങളുടെ വശങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ 30-60-90 ത്രികോണ തത്വം ഉപയോഗിക്കാം. വശങ്ങൾ 15 സെ.മീ, 15√3 സെ.മീ ആയിരിക്കും.
ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം: 8 സെ.മീ, 10 സെ.മീ വശങ്ങളും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ 40° ഉം ആയാൽ, വിസ്തീർണ്ണം = (1/2) × 8 × 10 × sin(40°) ≈ 25.71 ച.സെ.മീ.
ഞാണിന്റെ നീളം: കേന്ദ്രകോൺ 100°, ആരം 2.5 സെ.മീ ആയാൽ, ഞാണിന്റെ നീളം = 2 × 2.5 × sin(50°) ≈ 3.83 സെ.മീ.
സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ പരിവൃത്ത ആരം: 3 സെ.മീ വശമുള്ള സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ പരിവൃത്ത ആരം = 3/√3 = √3 സെ.മീ.
മരത്തിന്റെ ഉയരം: 1.7 മീറ്റർ ഉയരമുള്ള ഒരാൾ 10 മീറ്റർ അകലെ നിന്ന് 40° മേൽക്കോണിൽ നോക്കുമ്പോൾ മരത്തിന്റെ ഉയരം ≈ 10.091 മീറ്റർ.
അദ്ധ്യായം 7: സൂചകസംഖ്യകൾ
ഈ അദ്ധ്യായം കാർട്ടീഷ്യൻ സൂചകസംഖ്യാ രീതിയും ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള അകലം കണക്കാക്കുന്ന വിധവും പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു.
ആശയങ്ങളും പദങ്ങളും
അക്ഷങ്ങൾ (Axes): പരസ്പരം ലംബമായ രണ്ട് വരകൾ (x-അക്ഷം തിരശ്ചീനമായും y-അക്ഷം ലംബമായും).
ആധാരബിന്ദു (Origin): അക്ഷങ്ങൾ കൂടിച്ചേരുന്ന ബിന്ദു (0,0).
സൂചകസംഖ്യകൾ (x, y): ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുന്ന സംഖ്യാജോഡി.
അക്ഷങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായ വശങ്ങളുള്ള ചതുരങ്ങൾ: ലംബമായ വശങ്ങളിലെ ബിന്ദുക്കൾക്ക് ഒരേ x-സൂചകസംഖ്യയും, തിരശ്ചീനമായ വശങ്ങളിലെ ബിന്ദുക്കൾക്ക് ഒരേ y-സൂചകസംഖ്യയും ആയിരിക്കും.
വിശദീകരണങ്ങളും വിശദാംശങ്ങളും
ബിന്ദുക്കൾ അടയാളപ്പെടുത്തൽ: x-അക്ഷത്തിലൂടെ നീങ്ങി പിന്നീട് ലംബമായി y-സൂചകസംഖ്യയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.
രൂപങ്ങൾ വരയ്ക്കൽ: ശീർഷകങ്ങൾ സൂചകസംഖ്യകളായി അടയാളപ്പെടുത്തി യോജിപ്പിക്കുന്നു.
സൂചകസംഖ്യകളുടെ സവിശേഷതകൾ:
x-അക്ഷത്തിലെ ബിന്ദുക്കൾക്ക് y-സൂചകസംഖ്യ 0 ആയിരിക്കും.
y-അക്ഷത്തിലെ ബിന്ദുക്കൾക്ക് x-സൂചകസംഖ്യ 0 ആയിരിക്കും.
രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള അകലം:
പൊതുവായ സൂത്രവാക്യം: (x₁, y₁), (x₂, y₂) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള അകലം = √[(x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²].
ഒരേ x-സൂചകസംഖ്യയുള്ള ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള അകലം = |y₁ − y₂|.
ഒരേ y-സൂചകസംഖ്യയുള്ള ബിന്ദുക്കൾ തമ്മിലുള്ള അകലം = |x₁ − x₂|.
ആധാരബിന്ദുവിൽ നിന്നുള്ള അകലം = √(x² + y²).
ഏകരേഖീയത പരിശോധന: മൂന്ന് ബിന്ദുക്കളിൽ, ഏറ്റവും വലിയ അകലം മറ്റ് രണ്ട് അകലങ്ങളുടെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ അവ ഒരേ രേഖയിലാണ്.
പരിഹാരങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും
ചതുരത്തിന്റെ ശീർഷകങ്ങൾ: എതിർവശത്തുള്ള ശീർഷകങ്ങൾ (x₁, y₁) ഉം (x₂, y₂) ഉം ആയാൽ, മറ്റ് രണ്ട് ശീർഷകങ്ങൾ (x₁, y₂), (x₂, y₁) ആയിരിക്കും.
ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം: തിരശ്ചീന വശം = |x₁ − x₂|; ലംബ വശം = |y₁ − y₂|.
അകലം കണക്കാക്കൽ:
(2, 5)-ഉം (6, 6)-ഉം തമ്മിലുള്ള അകലം = √[(-4)² + (-1)²] = √17.
(4, −2)-ഉം (−3, −1)-ഉം തമ്മിലുള്ള അകലം = √[7² + (−1)²] = √50 = 5√2.
മട്ടത്രികോണം പരിശോധന: (2,1), (3,4), (−3,6) എന്നീ ബിന്ദുക്കൾ ഒരു മട്ടത്രികോണം ഉണ്ടാക്കുമോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ, പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുക.
d₁² = 10, d₂² = 40, d₃² = 50. 10 + 40 = 50 ആയതിനാൽ ഇത് ഒരു മട്ടത്രികോണമാണ്.
ചതുരത്തിനുള്ളിലെ ബിന്ദു: ഒരു ചതുരത്തിനുള്ളിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് മൂന്ന് ശീർഷകങ്ങളിലേക്കുള്ള അകലം തന്നാൽ നാലാമത്തെ ശീർഷകത്തിലേക്കുള്ള അകലം അകല സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം. തന്നിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ ഈ അകലം √18 = 3√2 ആണ്.