Chapter 1: Arithmetic Sequences

1. Identify APs and find d

• Q: Which of the following are arithmetic? If yes, find d.
  a) 2, 7, 12, 17, …
  b) 3, 8, 14, 21, …
  c) 5, 0, −5, −10, …
• Solution:
  a) Differences: 5, 5, 5 → AP with d = 5.
  b) Differences: 5, 6, 7 → Not an AP.
  c) Differences: −5, −5, −5 → AP with d = −5.

2. Find n-th term and specific terms

• Q: In an AP with a1 = 12 and d = −5, find a8 and a25.
• Solution: a_n = a1 + (n−1)d.
  • a8 = 12 + 7(−5) = −23.
  • a25 = 12 + 24(−5) = −108.

3. Recover first term and a later term

• Q: T4 = 23, d = 6. Find T1 and T15.
• Solution:
  • T1 = T4 − 3d = 23 − 18 = 5.
  • T15 = 5 + 14·6 = 89.

4. Find d and a1 from two terms

• Q: T7 = 58, T20 = 136. Find d and a1.
• Solution:
  • d = (136 − 58)/(20 − 7) = 78/13 = 6.
  • a1 = T7 − 6d = 58 − 36 = 22.

5. Pair-sum invariance / equal position-sum rule

• Q: In an AP, T3 + T12 = 40. Find T6 + T9.
• Solution: 3+12 = 15 and 6+9 = 15 ⇒ T3 + T12 = T6 + T9 ⇒ T6 + T9 = 40.

6. Middle-term sums

• Q: T12 + T13 + T14 = 105. Find T13.
• Solution: For three consecutive terms, sum = 3 × middle term ⇒ T13 = 105/3 = 35.

7. Membership test

• Q: In 5, 14, 23, … (d = 9), is 500 a term? If yes, which term?
• Solution:
  • 500 − 5 = 495; 495/9 = 55 (integer).
  • Index n = 55 + 1 = 56. So 500 is the 56th term.

Chapter 2: Circles and Angles

1. Inscribed vs central angle

• Q: Central angle subtending arc AC is 124°. What is ∠ABC for point B on the circle (not on arc AC)?
• Solution: Inscribed angle is half central angle ⇒ ∠ABC = 124°/2 = 62°.

2. Angle in a semicircle

• Q: AB is a diameter of a circle; C is a point on the circle. What is ∠ACB?
• Solution: Angle in a semicircle is 90° ⇒ ∠ACB = 90°.

3. Cyclic quadrilateral: angle finding

• Q: In cyclic ABCD, ∠A = 78°. Find ∠C.
• Solution: Opposite angles sum to 180° ⇒ ∠C = 180° − 78° = 102°.

4. Exterior angle in a cyclic quadrilateral

• Q: In cyclic ABCD, ∠D (interior) = 96°. Find the exterior angle at B.
• Solution: Exterior angle at a vertex = interior opposite angle ⇒ exterior at B = 96°.

5. Check cyclicity by angles

• Q: A quadrilateral has ∠A = 70°, ∠B = 95°, ∠C = 110°, ∠D = 85°. Is it cyclic?
• Solution: Check opposite sums: A+C = 70 + 110 = 180, B+D = 95 + 85 = 180 ⇒ cyclic.

6. Clock-face triangle

• Q: Vertices at 2, 6, 9 on a clock. Find triangle angles.
• Solution: Each step is 30° centrally.
  • Arc 2→6: 4 steps = 120° ⇒ angle at 9 = 60°.
  • Arc 6→9: 3 steps = 90° ⇒ angle at 2 = 45°.
  • Arc 9→2: 5 steps = 150° ⇒ angle at 6 = 75°.
  • Angles: 45°, 60°, 75°.

7. Same-segment angles

• Q: Points P, Q are endpoints of a chord. Points R and S lie on the same alternate arc. Show ∠PRQ = ∠PSQ.
• Solution: Angles subtending the same arc PQ at the circumference are equal by the “angles in the same segment” theorem.

Chapter 3: Arithmetic Sequences and Algebra

1. Find formula x_n and S_n

• Q: For AP with a1 = 4, d = 3, find x_n and S_n.
• Solution:
  • x_n = 4 + (n−1)·3 = 3n + 1.
  • Using S_n = (a/2)n(n+1) + bn with a = 3, b = 1:
    S_n = (3/2)n(n+1) + n = (3n^2 + 5n)/2.

2. Find x_n from S_n

• Q: If S_n = 5n^2 − n, find x_n and d.
• Solution:
  • x_n = S_n − S_{n−1}.
  • S_{n−1} = 5(n−1)^2 − (n−1) = 5n^2 − 10n + 5 − n + 1 = 5n^2 − 11n + 6.
  • x_n = (5n^2 − n) − (5n^2 − 11n + 6) = 10n − 6.
  • This is an AP with d = 10.

3. Sum of first n odd numbers

• Q: Evaluate 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1).
• Solution: n^2 (standard result).

4. Compute a large sum via last term or formula

• Q: For x_n = 7n − 10, find S_80.
• Solution:
  • a = 7, b = −10 ⇒ S_n = (a/2)n(n+1) + bn.
  • S_80 = (7/2)·80·81 − 10·80 = 7·40·81 − 800 = 22680 − 800 = 21880.

5. Solve for n given sum (nice integer)

• Q: For AP 2, 5, 8, … find n if S_n = 610.
• Solution:
  • x_n = 3n − 1; S_n = (n/2)(x_1 + x_n) = (n/2)(2 + 3n − 1) = (n/2)(3n + 1).
  • (n/2)(3n + 1) = 610 ⇒ n(3n + 1) = 1220 ⇒ 3n^2 + n − 1220 = 0.
  • Discriminant Δ = 1 + 14640 = 14641 = 121^2.
  • n = (−1 + 121)/(2·3) = 120/6 = 20.

6. Partial sum between indices

• Q: For AP 1, 4, 7, … find sum of terms T21 to T50.
• Solution:
  • x_n = 3n − 2; S_n = (3n^2 − n)/2.
  • Required sum = S_50 − S_20 = [(3·2500 − 50)/2] − [(3·400 − 20)/2]
    = [(7500 − 50)/2] − [(1200 − 20)/2]
    = (7450/2) − (1180/2) = 3725 − 590 = 3135.

7. Membership via formula

• Q: For x_n = 11n + 1, is 678 a term?
• Solution: 11n + 1 = 678 ⇒ n = 677/11 = 61.545… not an integer ⇒ not a term.

Chapter 4: Mathematics of Chance

1. Single-draw probability

• Q: A bag has 5 red, 3 blue, 2 green beads. P(not red)?
• Solution: Total 10; not red = 5. P = 5/10 = 1/2.

2. Two boxes, even sum

• Q: Box A: 1–6; Box B: 1–4. Draw one from each. P(sum even)?
• Solution: Even sum if both odd or both even.
  • A: 3 even, 3 odd. B: 2 even, 2 odd. Total 24 outcomes.
  • Favorable = 3·2 + 3·2 = 12. P = 12/24 = 1/2.

3. At least one ripe

• Q: Basket A: 10 apples (6 ripe). Basket B: 8 apples (3 ripe). P(at least one ripe)?
• Solution: 1 − P(both unripe) = 1 − (4/10)(5/8) = 1 − 20/80 = 3/4.

4. Geometric probability — inscribed circle in square

• Q: Pick a random point in a square of side 2r. P(point lies in the inscribed circle)?
• Solution: Area ratio = (πr^2)/(4r^2) = π/4.

5. Geometric probability — midpoint square

• Q: Join midpoints of a square’s sides to form an inner square. P(random point in big square lies in inner square)?
• Solution: Inner square has half the area of the outer square ⇒ 1/2.

6. Divisor counting probability

• Q: If a positive divisor of 1000 is chosen at random, find P(divisible by 25).
• Solution:
  • 1000 = 2^3·5^3 ⇒ total divisors = (3+1)(3+1) = 16.
  • Divisible by 25 ⇒ 5-exponent ≥ 2 (choices: 2, 3 ⇒ 2 choices); 2-exponent: 0–3 ⇒ 4 choices.
  • Favorable = 2·4 = 8. P = 8/16 = 1/2.

7. “At least one odd”

• Q: Box A: 1–6; Box B: 1–8. Draw one from each. P(at least one odd)?
• Solution: 1 − P(both even).
  • A: even 3/6; B: even 4/8 ⇒ P(both even) = (1/2)(1/2) = 1/4.
  • P(at least one odd) = 3/4.

Chapter 5: Second-Degree Equations (Quadratics)

1. Complete the square

• Q: Solve x^2 − 12x + 11 = 0.
• Solution:
  • x^2 − 12x + 11 = (x − 6)^2 − 25 = 0 ⇒ (x − 6)^2 = 25 ⇒ x = 6 ± 5 ⇒ x = 11 or x = 1.

2. Rectangle dimensions

• Q: Length is 4 m more than width. Area is 140 m^2. Find dimensions.
• Solution:
  • Let width = x, length = x + 4. x(x + 4) = 140 ⇒ x^2 + 4x − 140 = 0.
  • (x + 2)^2 = 144 ⇒ x + 2 = ±12 ⇒ x = 10 or x = −14 (reject).
  • Dimensions: 10 m by 14 m.

3. Consecutive even numbers

• Q: Find two consecutive even integers whose product is 360.
• Solution:
  • Let 2k and 2k + 2 ⇒ 4k(k + 1) = 360 ⇒ k(k + 1) = 90 ⇒ k^2 + k − 90 = 0.
  • (k + 1/2)^2 = 90.25 ⇒ k = 9 or −10.
  • Pairs: (18, 20) or (−20, −18).

4. AP sum equals a target

• Q: For AP 99, 97, 95, … with S_n = 100n − n^2, how many terms sum to 1275?
• Solution:
  • 100n − n^2 = 1275 ⇒ n^2 − 100n + 1275 = 0.
  • Δ = 10000 − 5100 = 4900 ⇒ √Δ = 70.
  • n = (100 ± 70)/2 ⇒ n = 85 or n = 15.

5. Complete the square (non-monic, rearranged)

• Q: Solve 50x − x^2 = 400.
• Solution:
  • x^2 − 50x + 400 = 0 ⇒ (x − 25)^2 = 625 − 400 = 225.
  • x − 25 = ±15 ⇒ x = 40 or x = 10.

6. Another completing-square

• Q: Solve x^2 + 5x − 84 = 0 by completing the square.
• Solution:
  • x^2 + 5x = 84 ⇒ (x + 2.5)^2 = 84 + 6.25 = 90.25.
  • x + 2.5 = ±9.5 ⇒ x = 7 or x = −12.

Chapter 6: Trigonometry

1. Ladder problem

• Q: A 6 m ladder makes a 60° angle with the ground. Find the height reached on the wall and the foot’s distance from the wall.
• Solution:
  • Height = 6·sin 60° = 6·(√3/2) ≈ 5.196 m.
  • Foot distance = 6·cos 60° = 6·(1/2) = 3 m.

2. Height of a building

• Q: An observer of height 1.6 m stands 25 m from a building; angle of elevation to the top is 35°. Find the building’s height.
• Solution:
  • Height above eye = 25·tan 35° ≈ 25·0.7002 ≈ 17.505 m.
  • Total height ≈ 17.505 + 1.6 = 19.105 m.

3. Triangle area (included angle)

• Q: Sides 9 cm and 12 cm include an angle of 50°. Find area.
• Solution:
  • Area = (1/2)·9·12·sin 50° ≈ 54·0.7660 ≈ 41.36 cm².

4. Chord length

• Q: In a circle of radius 8 cm, find the chord length subtending a central angle of 72°.
• Solution:
  • Chord = 2r·sin(θ/2) = 16·sin 36° ≈ 16·0.5878 ≈ 9.41 cm.

5. Sine rule

• Q: In triangle ABC, A = 30°, B = 45°, and side a = 10. Find side b.
• Solution:
  • a/sin A = b/sin B ⇒ b = a·(sin B/sin A) = 10·(sin 45°/sin 30°) = 10·(√2/2)/(1/2) = 10·√2 ≈ 14.142.

6. Circumradius (equilateral)

• Q: Find circumradius of an equilateral triangle of side 12 cm.
• Solution:
  • R = side/√3 = 12/√3 = 4√3 ≈ 6.928 cm.

7. Radian conversion

• Q: Convert 135° to radians.
• Solution:
  • 135° × (π/180°) = 3π/4.

Chapter 7: Coordinates

1. Distance between points

• Q: Find distance between A(−2, 3) and B(4, −1).
• Solution:
  • d = √[(4 − (−2))^2 + (−1 − 3)^2] = √(6^2 + (−4)^2) = √52 = 2√13.

2. Distance from origin

• Q: Find distance from O(0,0) to P(−6, 8).
• Solution: √(36 + 64) = √100 = 10.

3. Right triangle test

• Q: Do points A(1, 2), B(5, 5), C(−3, −1) form a right triangle?
• Solution:
  • Compute squared distances:
    AB^2 = (1−5)^2 + (2−5)^2 = 16 + 9 = 25.
    BC^2 = (5−(−3))^2 + (5−(−1))^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100.
    AC^2 = (1−(−3))^2 + (2−(−1))^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25.
  • Largest is 100, and 25 + 25 = 50 ≠ 100 ⇒ Not a right triangle. (If one matched, it would be right.)

4. Collinearity by distances

• Q: Check if P(2, 1), Q(6, 9), R(10, 17) are collinear.
• Solution:
  • Vector PQ = (4, 8), QR = (4, 8), PR = (8, 16) = 2·PQ.
  • Distances: PQ = 4√5, QR = 4√5, PR = 8√5 = PQ + QR ⇒ collinear.

5. Rectangle vertices and side lengths

• Q: Opposite vertices are (1, 2) and (7, 8). Find the other two vertices and side lengths.
• Solution:
  • Other vertices: (1, 8), (7, 2).
  • Side lengths: |7 − 1| = 6 and |8 − 2| = 6 ⇒ actually a square of side 6.

6. Interior point distance to the fourth vertex

• Q: Rectangle with A(0,0), B(10,0), C(0,6), D(10,6). A point P inside satisfies PA = 3, PB = 5, PC = 7. Find PD.
• Solution (property: PA^2 + PD^2 = PB^2 + PC^2):
  • 3^2 + PD^2 = 5^2 + 7^2 ⇒ 9 + PD^2 = 25 + 49 ⇒ PD^2 = 65 ⇒ PD = √65.

7. Horizontal/vertical alignment

• Q: Points U(4, −1), V(4, 7), W(−3, 7). Which pairs share a vertical or horizontal line?
• Solution:
  • U and V: same x (4) ⇒ vertical line.
  • V and W: same y (7) ⇒ horizontal line.

  Chapter 1: Arithmetic Sequences

  Q: Find the 20th term of the sequence 3, 7, 11, …
  A: Common difference d=4. First term a₁=3. General term aₙ=a₁+(n–1)d=3+19·4=3+76=79.

  Q: The 5th term of an arithmetic sequence is 22 and the 12th term is 50. Find (a) the common difference, (b) the first term.
  A: (a) Change in term =50–22=28 over (12–5)=7 steps ⇒ d=28/7=4.
  (b) a₅=a₁+4·d ⇒22=a₁+4·4 ⇒a₁=22–16=6.

  Q: Show that 100 is a term of 7, 14, 21, … and find its position.
  A: d=7, a₁=7. Solve 7 + (n–1)·7 =100 ⇒7n=100 ⇒n=100/7 (not integer). Oops—100 is not a term. (If it were, (100–7)/7+1 would be integer.)

  Q: Sum of the first 15 terms of 5, 2, –1, …?
  A: d=–3, a₁=5. Last term a₁₅=5+(14)(–3)=5–42=–37. Sum S₁₅=½·15·(a₁+a₁₅)=7.5·(5+–37)=7.5·(–32)=–240.

  Q: In an arithmetic sequence, a₈+a₁₂=50. Sum of terms equally distant from the 10th term: a₉+a₁₁= ?
  A: Any two terms symmetric about the middle sum to twice the middle term. Since 8+12=20 and 9+11=20, a₈+a₁₂=a₉+a₁₁=50.

  Chapter 2: Circles and Angles

  Q: In circle with center O, central angle AOB=100°. What is the inscribed angle subtended by the same arc?
  A: Inscribed angle = half the central angle = 50°. [Sketch circle, mark O, A, B, and a point C on circumference.]

  Q: Prove that any angle in a semicircle is a right angle.
  A: Semicircle central angle=180°, so inscribed angle (½·180°)=90°.

  Q: In cyclic quadrilateral ABCD, ∠A=70°, ∠C= ?
  A: Opposite angles sum to 180°, so ∠C=180°–70°=110°.

  Q: Angles in the same segment theorem. In circle, chord AB, two points C and D on the same arc. Show ∠ACB=∠ADB.
  A: Both inscribed angles intercept the same arc AB, so are equal.

  Q: Find the length of chord AB in a circle radius 10 cm when the central angle is 120°.
  A: Chord =2R·sin(θ/2)=2·10·sin(60°)=20·(√3/2)=10√3 cm.

  Chapter 3: Arithmetic Sequences and Algebra

  Q: Find an algebraic formula for the sequence 8, 13, 18, …
  A: d=5, a₁=8 ⇒aₙ=8+(n–1)·5=5n+3.

  Q: Given Sₙ=2n²+3n, find the sequence aₙ.
  A: a₁=S₁=2+3=5. a₂=S₂–S₁=(8+6)–5=14–5=9. So a₁=5, a₂=9 ⇒d=4. Hence aₙ=4n+1.

  Q: Show that Sₙ for the sequence 4, 7, 10, … is (3/2)n(n+1)+n.
  A: Here a=3, b=4–3=1, so Sₙ=½·(3)n(n+1)+n·1=(3/2)n(n+1)+n.

  Q: Prove sum of first n odd numbers =n².
  A: Sequence is 1,3,5,… ⇒d=2, a₁=1. Sₙ=½·n·(a₁+aₙ)=½·n·(1+(2n–1))=½·n·2n=n².

  Chapter 4: Probability

  Q: A bag has 5 red and 7 blue balls. What is P(red)?
  A: P(red)=5/(5+7)=5/12.

  Q: You toss two coins. P(at least one head)?
  A: Total outcomes=4. Only TT has no heads. So P=1–1/4=3/4.

  Q: From numbers 1–20, pick one at random. P(multiple of 3)?
  A: Multiples of 3 up to 20: 3,6,9,12,15,18 ⇒6 outcomes. P=6/20=3/10.

  Q: Geometric probability: point uniformly in a 10×10 square. P(it falls within the inscribed circle)?
  A: Area(circle)=π·5²=25π; area(square)=100. P=25π/100=π/4≈0.785.

  Q: Two urns: Urn A has 3 white and 2 black balls; Urn B has 4 white and 1 black. One ball from each; P(both white)?
  A: P=A:white=3/5; B:white=4/5 ⇒P(both)=3/5·4/5=12/25.

  Chapter 5: Second Degree Equations

  Q: Solve x²+6x+8=0 by completing the square.
  A: x²+6x=–8. Add 9: (x+3)²=1 ⇒x+3=±1 ⇒x=–2 or x=–4.

  Q: A rectangle’s area is 224 m², and its sides differ by 2 m. Find the sides.
  A: Let shorter=x, longer=x+2 ⇒x(x+2)=224 ⇒x²+2x–224=0. Solve: complete square or quadratic formula: x=14 or x=–16 (discard). So sides 14 and 16 m.

  Q: The sum of the first n terms of 99,97,95,… is 900. Find n.
  A: d=–2, a₁=99. Sₙ=½n(2·99+(n–1)(–2))=900 ⇒n(198–2n+2)=1800 ⇒n(200–2n)=1800 ⇒200n–2n²–1800=0 ⇒n²–100n+900=0 ⇒(n–90)(n–10)=0 ⇒n=10 or 90.

  Q: Solve x²–4x–12=0; interpret roots if x is length.
  A: x²–4x=12 ⇒complete square: (x–2)²=16 ⇒x–2=±4 ⇒x=6 or x=–2 (reject negative) so x=6.

  Chapter 6: Trigonometry

  Q: In right triangle, angle A=30°, hypotenuse=10 cm. Find opposite side.
  A: sin30°=opp/hyp=opp/10 ⇒opp=10·½=5 cm.

  Q: Show sides of 45°–45°–90° triangle are in ratio 1:1:√2.
  A: Let legs=1. Hypotenuse²=1²+1²=2 ⇒hypotenuse=√2.

  Q: Find area of triangle with sides 8 cm and 10 cm and included angle 40°.
  A: Area=½ab·sin(C)=½·8·10·sin40°≈40·0.643=25.7 cm².

  Q: A tree’s top subtends an angle of elevation 35° at a point 20 m away. How tall is the tree?
  A: height=h ⇒tan35°=h/20 ⇒h=20·tan35°≈20·0.700=14 m.

  Q: In circle radius 6 cm, what is chord length for central angle 80°?
  A: chord=2·6·sin(80°/2)=12·sin40°≈12·0.643=7.72 cm.

  Chapter 7: Coordinates

  Q: Distance between P(2,–1) and Q(5,3)?
  A: d=√[(5–2)²+(3+1)²]=√[3²+4²]=5.

  Q: Show that A(0,0), B(4,0), C(4,3) form a right angle at B.
  A: Compute AB²=4²+0²=16, BC²=0²+3²=9, AC²=4²+3²=25 ⇒AB²+BC²=16+9=25=AC² ⇒right at B.

  Q: Find equation of rectangle with opposite corners (1,2) and (5,7) and sides parallel to axes; list all vertices.
  A: Other two are (1,7) and (5,2).

  Q: A point P divides the diagonal of rectangle with corners (0,0) and (6,4) such that distances to (0,0) and (6,4) are equal. Find P.
  A: P is midpoint of the diagonal: ((0+6)/2, (0+4)/2)=(3,2).

  Q: Given rectangle with vertices A(0,0), B(a,0), C(a,b), D(0,b). A point P(x,y) inside satisfies PA=5, PB=4, PC=3. Find PD.
  A: PA²=x²+y²=25; PB²=(x–a)²+y²=16; PC²=(x–a)²+(y–b)²=9. Subtract first two: (x–a)²–x²=16–25=–9 ⇒a²–2ax=–9 ⇒2ax=x²–(x–a)²+9 ⇒… etc. Solve for a,b,x,y then PD²=(x–0)²+(y–b)². Final PD=3√2.

   

   

  അദ്ധ്യായം 1: സമാന്തരശ്രേണികൾ (Arithmetic Sequences)

• AP തിരിച്ചറിയുക, d കണ്ടെത്തുക
  Q: താഴെയുള്ളവയിൽ ഏവയാണ് സമാന്തരശ്രേണികൾ? ആണെങ്കിൽ d കണ്ടെത്തുക.
  a) 2, 7, 12, 17, …
  b) 3, 8, 14, 21, …
  c) 5, 0, −5, −10, …
  Solution:
  a) വ്യത്യാസങ്ങൾ: 5, 5, 5 → AP; d = 5.
  b) വ്യത്യാസങ്ങൾ: 5, 6, 7 → AP അല്ല.
  c) വ്യത്യാസങ്ങൾ: −5, −5, −5 → AP; d = −5.

• n-ാം പദവും പ്രത്യേക പദങ്ങളും കണ്ടെത്തുക
  Q: a1 = 12, d = −5 ആയ ഒരു AP-യിൽ a8, a25 കണ്ടെത്തുക.
  Solution: a_n = a1 + (n−1)d.
  a8 = 12 + 7(−5) = −23.
  a25 = 12 + 24(−5) = −108.

• ആദ്യപദവും ഒരു ശേഷിപ്പദവും കണ്ടെത്തുക
  Q: T4 = 23, d = 6. T1, T15 കണ്ടെത്തുക.
  Solution:
  T1 = T4 − 3d = 23 − 18 = 5.
  T15 = 5 + 14·6 = 89.

• രണ്ട് പദങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുമ്പോൾ d, a1 കണ്ടെത്തുക
  Q: T7 = 58, T20 = 136. d, a1 കണ്ടെത്തുക.
  Solution:
  d = (136 − 58)/(20 − 7) = 78/13 = 6.
  a1 = T7 − 6d = 58 − 36 = 22.

• ജോഡിതുക സ്ഥിരത / തുല്യ സ്ഥാന-തുക നിയമം
  Q: ഒരു AP-യിൽ T3 + T12 = 40. T6 + T9 കണ്ടെത്തുക.
  Solution: 3+12 = 15, 6+9 = 15 ⇒ T3 + T12 = T6 + T9 ⇒ T6 + T9 = 40.

• മദ്ധ്യപദ തുക
  Q: T12 + T13 + T14 = 105. T13 കണ്ടെത്തുക.
  Solution: തുടർച്ചയായ 3 പദങ്ങളുടെ തുക = 3 × മദ്ധ്യപദം ⇒ T13 = 105/3 = 35.

• പദമാണോ എന്ന പരിശോധന
  Q: 5, 14, 23, … (d = 9) എന്ന ശ്രേണിയിൽ 500 ഒരു പദമാണോ? ആണെങ്കിൽ ഏത് പദം?
  Solution:
  500 − 5 = 495; 495/9 = 55 (പൂർണ്ണസംഖ്യ).
  സൂചിക n = 55 + 1 = 56. അതിനാൽ 500 56-ാം പദമാണ്.

---

അദ്ധ്യായം 2: വൃത്തങ്ങളും കോണുകളും (Circles and Angles)

1. പരിധികോൺ vs കേന്ദ്രകോൺ
   Q: AC ചാപത്തെ subtend ചെയ്യുന്ന കേന്ദ്രകോൺ 124° ആണെങ്കിൽ, B പരിധിയിലെ (AC ചാപത്തിലല്ലാത്ത) ബിന്ദുവിൽ ∠ABC എത്ര?
   Solution: പരിധികോൺ = കേന്ദ്രകോണിന്റെ പകുതി ⇒ ∠ABC = 124°/2 = 62°.

2. അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ കോൺ
   Q: AB ഒരു വ്യാസമാണെങ്കിൽ, വൃത്തത്തിലെ C എന്ന ബിന്ദുവിൽ ∠ACB എത്ര?
   Solution: അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ കോൺ 90° ⇒ ∠ACB = 90°.

3. ചക്രീയ ചതുർഭുജം: കോൺ കണ്ടെത്തൽ
   Q: ചക്രീയ ABCD-യിൽ ∠A = 78°. ∠C കണ്ടെത്തുക.
   Solution: എതിർകോണുകളുടെ തുക 180° ⇒ ∠C = 180° − 78° = 102°.

4. ചക്രീയ ചതുർഭുജത്തിലെ ബാഹ്യകോൺ
   Q: ചക്രീയ ABCD-യിൽ ∠D (ആന്തര) = 96°. B-യിലെ ബാഹ്യകോൺ എത്ര?
   Solution: ഒരു മൂലയിലെ ബാഹ്യകോൺ = ആന്തര എതിർകോൺ ⇒ exterior(B) = 96°.

5. ചക്രീയമോ എന്ന് കോണുകൾകൊണ്ട് പരിശോധിക്കുക
   Q: ∠A = 70°, ∠B = 95°, ∠C = 110°, ∠D = 85°. ഇത് ചക്രീയമാണോ?
   Solution: A+C = 70+110 = 180, B+D = 95+85 = 180 ⇒ ചക്രീയമാണ്.

6. ഘടികാര-മുഖ ത്രികോണം
   Q: 2, 6, 9 സംഖ്യകളിൽ ശീർഷങ്ങൾ. ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകൾ കണ്ടെത്തുക.
   Solution: ഓരോ ഘട്ടവും കേന്ദ്രത്തിൽ 30°.
   Arc 2→6: 4 ഘട്ടം = 120° ⇒ 9-ൽ കോൺ = 60°.
   Arc 6→9: 3 ഘട്ടം = 90° ⇒ 2-ൽ കോൺ = 45°.
   Arc 9→2: 5 ഘട്ടം = 150° ⇒ 6-ൽ കോൺ = 75°.
   Angles: 45°, 60°, 75°.

7. അതേ വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾ
   Q: P, Q ഞാണിന്റെ അറ്റങ്ങൾ. R, S ഒരേ മറിചാപത്തിൽ. ∠PRQ = ∠PSQ എന്നു കാണിക്കുക.
   Solution: ഒരേ ചാപത്തെ subtend ചെയ്യുന്ന പരിധികോണുകൾ തുല്യം (same segment theorem).

---

അദ്ധ്യായം 3: സമാന്തരശ്രേണികളും ബീജഗണിതവും

1. x_n, S_n കണ്ടെത്തുക
   Q: a1 = 4, d = 3 ഉള്ള AP-യ്ക്ക് x_n, S_n കണ്ടെത്തുക.
   Solution:
   x_n = 4 + (n−1)·3 = 3n + 1.
   S_n = (a/2)n(n+1) + bn, ഇവിടെ a = 3, b = 1.
   S_n = (3/2)n(n+1) + n = (3n^2 + 5n)/2.

2. S_n നൽകി x_n കണ്ടെത്തുക
   Q: S_n = 5n^2 − n ആയാൽ x_n, d കണ്ടെത്തുക.
   Solution:
   x_n = S_n − S_{n−1}.
   S_{n−1} = 5(n−1)^2 − (n−1) = 5n^2 − 11n + 6.
   x_n = (5n^2 − n) − (5n^2 − 11n + 6) = 10n − 6.
   അതായത് ഇത് ഒരു AP ആണ്; d = 10.

3. ആദ്യ n ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ തുക
   Q: 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) കണ്ടെത്തുക.
   Solution: n^2 (സാധാരണ ഫലം).

4. അവസാന പദം/സൂത്രം ഉപയോഗിച്ച് വലിയ തുക
   Q: x_n = 7n − 10 ആയാൽ S_80 കണ്ടെത്തുക.
   Solution: a = 7, b = −10 ⇒ S_n = (a/2)n(n+1) + bn.
   S_80 = (7/2)·80·81 − 10·80 = 7·40·81 − 800 = 22680 − 800 = 21880.

5. S_n നൽകിയാൽ n കണ്ടെത്തുക
   Q: AP 2, 5, 8, … ൽ S_n = 610 ആയാൽ n എത്ര?
   Solution:
   x_n = 3n − 1; S_n = (n/2)(x_1 + x_n) = (n/2)(2 + 3n − 1) = (n/2)(3n + 1).
   (n/2)(3n + 1) = 610 ⇒ n(3n + 1) = 1220 ⇒ 3n^2 + n − 1220 = 0.
   ഡെൽറ്റ (Δ) = 1 + 14640 = 14641 = 121^2.
   n = (−1 + 121)/(2·3) = 120/6 = 20.

6. ഇടയ്ക്കുള്ള പദങ്ങളുടെ തുക
   Q: AP 1, 4, 7, … ൽ T21 മുതൽ T50 വരെ തുക?
   Solution:
   x_n = 3n − 2; S_n = (3n^2 − n)/2.
   ആവശ്യമായ തുക = S_50 − S_20
   = [(3·2500 − 50)/2] − [(3·400 − 20)/2]
   = (7450/2) − (1180/2) = 3725 − 590 = 3135.

7. സൂത്രംകൊണ്ട് പദമാണോ പരിശോധന
   Q: x_n = 11n + 1-ൽ 678 ഒരു പദമാണോ?
   Solution: 11n + 1 = 678 ⇒ n = 677/11 = 61.545… (പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല) ⇒ പദമല്ല.

---

അദ്ധ്യായം 4: സാധ്യതയുടെ ഗണിതം (Mathematics of Chance)

1. ഒറ്റ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് സാധ്യത
   Q: ഒരു ബാഗിൽ 5 ചുവപ്പ്, 3 നീല, 2 പച്ച മുത്തുകൾ. P(ചുവപ്പല്ലാത്തത്) ?
   Solution: ആകെ 10; ചുവപ്പല്ലാത്തത് = 5. P = 5/10 = 1/2.

2. രണ്ട് പെട്ടികൾ, തുക സമസംഖ്യ
   Q: പെട്ടി A: 1–6; പെട്ടി B: 1–4. ഓരോന്നിൽ നിന്നും ഒരു സ്ലിപ്പ്. P(തുക സമസംഖ്യ)?
   Solution: രണ്ടും ഒറ്റയോ രണ്ടും ഇരട്ടയോ ആണെങ്കിൽ തുക സമസംഖ്യ.
   A: 3 ഇരട്ട, 3 ഒറ്റ. B: 2 ഇരട്ട, 2 ഒറ്റ. ആകെ 24 ഫലങ്ങൾ.
   അനുകൂല = 3·2 + 3·2 = 12. P = 12/24 = 1/2.

3. കുറഞ്ഞത് ഒരു പഴുത്തത്
   Q: A: 10 ആപ്പിൾ (6 പഴുത്തത്). B: 8 (3 പഴുത്തത്). P(കുറഞ്ഞത് ഒന്ന് പഴുത്തത്)?
   Solution: 1 − P(രണ്ടും പഴുക്കാത്തത്)
   = 1 − (4/10)(5/8) = 1 − 20/80 = 3/4.

4. ജ്യാമിതീയ സാധ്യത — ചതുരത്തിനകത്തെ വൃത്തം
   Q: വശം 2r ആയ ചതുരത്തിനകത്ത് inscribed പൂർണ്ണവൃത്തം. P(പോയ്ന്റ്റ് വൃത്തത്തിനകം)?
   Solution: വിസ്തീർണ്ണ അനുപാതം = (πr^2)/(4r^2) = π/4.

5. ജ്യാമിതീയ സാധ്യത — മധ്യബിന്ദുക്കൾ ചേർത്ത് ഉണ്ടാക്കുന്ന ചതുരം
   Q: വലിയ ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കൾ ചേർത്ത് ഉള്ളിൽ ചതുരം. P(പോയ്ന്റ്റ് ഉള്ളിലെ ചതുരത്തിൽ)?
   Solution: ഉള്ളിലെ ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം പുറത്തെ ചതുരത്തിന്റെ പകുതി ⇒ 1/2.

6. ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം-അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള അവസരം
   Q: 1000-ന്റെ ഒരു പോസിറ്റീവ് ഘടകം യാദൃശ്ചികമായി എടുത്താൽ, 25-ൽ വിഭജ്യമായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത?
   Solution:
   1000 = 2^3·5^3 ⇒ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം (3+1)(3+1) = 16.
   25-ൽ വിഭജ്യമാകാൻ 5-എക്സ്പോണന്റ് ≥ 2 (ഓപ്ഷൻ: 2, 3 ⇒ 2), 2-എക്സ്പോണന്റ്: 0–3 ⇒ 4.
   അനുകൂല = 2·4 = 8 ⇒ P = 8/16 = 1/2.

7. “കുറഞ്ഞത് ഒന്ന് ഒറ്റസംഖ്യ”
   Q: A: 1–6; B: 1–8. ഓരോന്നിൽ നിന്നും ഒരു എണ്ണം. P(കുറഞ്ഞത് ഒന്ന് ഒറ്റസംഖ്യ)?
   Solution: 1 − P(രണ്ടും ഇരട്ട).
   A: even 3/6; B: even 4/8 ⇒ P(രണ്ടും even) = (1/2)(1/2) = 1/4.
   P(കുറഞ്ഞത് ഒന്ന് odd) = 3/4.

---

അദ്ധ്യായം 5: രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങൾ (Quadratics)

1. വർഗ്ഗം തികയ്ക്കൽ
   Q: x^2 − 12x + 11 = 0 പരിഹരിക്കുക.
   Solution:
   x^2 − 12x + 11 = (x − 6)^2 − 25 = 0
   ⇒ (x − 6)^2 = 25 ⇒ x = 6 ± 5 ⇒ x = 11, 1.

2. ചതുരസ്ത്രത്തിന്റെ അളവുകൾ
   Q: നീളം വീതിയേക്കാൾ 4 മീ. കൂടുതൽ. വിസ്തീർണ്ണം 140 മി². അളവുകൾ കണ്ടെത്തുക.
   Solution:
   വീതി = x, നീളം = x + 4. x(x + 4) = 140 ⇒ x^2 + 4x − 140 = 0.
   (x + 2)^2 = 144 ⇒ x + 2 = ±12 ⇒ x = 10 (−14 തള്ളുക).
   അളവുകൾ: 10 മീ. × 14 മീ.

3. തുടർച്ചയായ ഇരട്ടസംഖ്യകൾ
   Q: ഗുണഫലം 360 ആകുന്ന തുടർച്ചയായ രണ്ട് ഇരട്ടസംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുക.
   Solution:
   2k, 2k + 2 ⇒ 4k(k + 1) = 360 ⇒ k(k + 1) = 90 ⇒ k^2 + k − 90 = 0.
   (k + 1/2)^2 = 90.25 ⇒ k = 9 അല്ലെങ്കിൽ −10.
   ജോടികൾ: (18, 20) അല്ലെങ്കിൽ (−20, −18).

4. AP-യുടെ തുക ഒരു മൂല്യത്തോട് തുല്യം
   Q: AP 99, 97, 95, … (S_n = 100n − n^2). S_n = 1275 ആകാൻ n എത്ര?
   Solution:
   100n − n^2 = 1275 ⇒ n^2 − 100n + 1275 = 0.
   Δ = 10000 − 5100 = 4900 ⇒ √Δ = 70.
   n = (100 ± 70)/2 ⇒ n = 85 അല്ലെങ്കിൽ 15.

5. വർഗ്ഗം തികയ്ക്കൽ (non-monic, രൂപാന്തരം)
   Q: 50x − x^2 = 400 പരിഹരിക്കുക.
   Solution:
   x^2 − 50x + 400 = 0 ⇒ (x − 25)^2 = 625 − 400 = 225.
   x − 25 = ±15 ⇒ x = 40 അല്ലെങ്കിൽ 10.

6. മറ്റൊരു വർഗ്ഗം തികയ്ക്കൽ
   Q: x^2 + 5x − 84 = 0 വർഗ്ഗം തികയ്ക്കലിലൂടെ പരിഹരിക്കുക.
   Solution:
   x^2 + 5x = 84 ⇒ (x + 2.5)^2 = 84 + 6.25 = 90.25.
   x + 2.5 = ±9.5 ⇒ x = 7 അല്ലെങ്കിൽ −12.

---

അദ്ധ്യായം 6: ത്രികോണമിതി (Trigonometry)

1. പടി പ്രശ്നം
   Q: 6 മീ. നീളമുള്ള പടി നിലത്തോട് 60° കോണിൽ. മതിലിൽ എത്തുന്ന ഉയരവും മതിലിൽ നിന്ന് പടിയുടെ അടിയിലേക്കുള്ള ദൂരവും?
   Solution:
   Height = 6·sin 60° = 6·(√3/2) ≈ 5.196 m.
   Foot distance = 6·cos 60° = 6·(1/2) = 3 m.

2. കെട്ടിടത്തിന്റെ ഉയരം
   Q: 1.6 മീ. ഉയരമുള്ള നിരീക്ഷകൻ കെട്ടിടത്തിൽ നിന്ന് 25 മീ. അകലെ; മേൽക്കോൺ 35°. കെട്ടിടത്തിന്റെ മുഴുവൻ ഉയരം?
   Solution:
   കണ്ണിനുമുകളിലെ ഉയരം = 25·tan 35° ≈ 17.505 m.
   മൊത്തം ≈ 17.505 + 1.6 = 19.105 m.

3. ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (കോണിടയിൽ)
   Q: 9 സെ.മീ, 12 സെ.മീ വശങ്ങൾക്കിടയിൽ 50° കോൺ. വിസ്തീർണ്ണം?
   Solution:
   Area = (1/2)·9·12·sin 50° ≈ 54·0.7660 ≈ 41.36 cm².

4. ഞാണിന്റെ നീളം
   Q: ആരം 8 സെ.മീ ഉള്ള വൃത്തത്തിൽ 72° കേന്ദ്രകോൺ subtend ചെയ്യുന്ന ഞാണിന്റെ നീളം?
   Solution:
   Chord = 2r·sin(θ/2) = 16·sin 36° ≈ 16·0.5878 ≈ 9.41 cm.

5. സൈൻ നിയമം
   Q: ∠A = 30°, ∠B = 45°, a = 10 ഉള്ള ABC ത്രികോണത്തിൽ side b കണ്ടെത്തുക.
   Solution:
   a/sin A = b/sin B ⇒ b = a·(sin B/sin A) = 10·(√2/2)/(1/2) = 10·√2 ≈ 14.142.

6. സമഭുജ ത്രികോണം — പരിവൃത്ത ആരം
   Q: വശം 12 സെ.മീ ഉള്ള സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ പരിവൃത്ത ആരം കണ്ടെത്തുക.
   Solution: R = side/√3 = 12/√3 = 4√3 ≈ 6.928 cm.

7. റേഡിയൻ മാറ്റം
   Q: 135° നെ റേഡിയനിലേക്ക് മാറ്റുക.
   Solution: 135° × (π/180°) = 3π/4.

---

അദ്ധ്യായം 7: സൂചകസംഖ്യകൾ (Coordinates)

1. ബിന്ദുക്കളുടെ അകലം
   Q: A(−2, 3), B(4, −1) തമ്മിലുള്ള അകലം?
   Solution:
   d = √[(4 − (−2))^2 + (−1 − 3)^2] = √(6^2 + (−4)^2) = √52 = 2√13.

2. ആധാരബിന്ദുവിൽ നിന്ന് അകലം
   Q: O(0,0) മുതൽ P(−6, 8) വരെ അകലം?
   Solution: √(36 + 64) = √100 = 10.

3. മട്ടത്രികോണം പരിശോധിക്കുക
   Q: A(1, 2), B(5, 5), C(−3, −1) മട്ടത്രികോണം ഉണ്ടാക്കുമോ?
   Solution:
   AB^2 = (1−5)^2 + (2−5)^2 = 16 + 9 = 25.
   BC^2 = (5−(−3))^2 + (5−(−1))^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100.
   AC^2 = (1−(−3))^2 + (2−(−1))^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25.
   വലിയത് 100; 25 + 25 = 50 ≠ 100 ⇒ മട്ടത്രികോണമല്ല.

4. ഏകരേഖീയത അകലങ്ങളിലൂടെ
   Q: P(2, 1), Q(6, 9), R(10, 17) ഏകരേഖീയമാണോ?
   Solution:
   PQ = (4, 8), QR = (4, 8), PR = (8, 16) = 2·PQ.
   PQ = 4√5, QR = 4√5, PR = 8√5 = PQ + QR ⇒ ഏകരേഖീയമാണ്.

5. ചതുരസ്ത്രത്തിന്റെ ശീർഷങ്ങളും വശനീളങ്ങളും
   Q: എതിർ ശീർഷങ്ങൾ (1, 2) & (7, 8). മറ്റേ രണ്ട് ശീർഷങ്ങളും വശനീളങ്ങളും കണ്ടെത്തുക.
   Solution:
   മറ്റുള്ളവ: (1, 8), (7, 2).
   വശനീളം: |7 − 1| = 6, |8 − 2| = 6 ⇒ ഇത് 6 വശമുള്ള ഒരു ചതുരമാണ്.

6. അകത്തെ ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് നാലാമത്തെ ശീർഷത്തിലേക്കുള്ള അകലം
   Q: A(0,0), B(10,0), C(0,6), D(10,6). ചതുരത്തിനുള്ളിലെ P-യ്ക്ക് PA = 3, PB = 5, PC = 7. PD കണ്ടെത്തുക.
   Solution (സ്വഭാവം: PA^2 + PD^2 = PB^2 + PC^2):
   3^2 + PD^2 = 5^2 + 7^2 ⇒ 9 + PD^2 = 25 + 49 ⇒ PD^2 = 65 ⇒ PD = √65.

7. തിരശ്ചീന/ലംബ സാമ്യം
   Q: U(4, −1), V(4, 7), W(−3, 7). ഏത് ജോടികൾ ലംബ/തിരശ്ചീന രേഖ പങ്കിടുന്നു?
   Solution:
   U & V: ഒരേ x (4) ⇒ ലംബ രേഖ.
   V & W: ഒരേ y (7) ⇒ തിരശ്ചീന രേഖ.

•  

  അദ്ധ്യായം 1: സമാന്തരശ്രേണികൾ (Arithmetic Sequences)

  Q: 3, 7, 11, … എന്ന ശ്രേണിയുടെ 20-ാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക.
  A: പൊതുവ്യത്യാസം d=4. ആദ്യപദം a₁=3. പൊതുവായ പദം aₙ=a₁+(n–1)d=3+19·4=3+76=79.

  Q: ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയുടെ 5-ാമത്തെ പദം 22-ഉം 12-ാമത്തെ പദം 50-ഉം ആണ്. (a) പൊതുവ്യത്യാസം, (b) ആദ്യപദം എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.
  A: (a) പദങ്ങളിലെ മാറ്റം =50–22=28, സ്ഥാനങ്ങളിലെ മാറ്റം = (12–5)=7. അതിനാൽ d=28/7=4.
  (b) a₅=a₁+4·d ⇒22=a₁+4·4 ⇒a₁=22–16=6.

  Q: 7, 14, 21, … എന്ന ശ്രേണിയിൽ 100 ഒരു പദമാണോ എന്ന് കാണിച്ച് അതിന്റെ സ്ഥാനം കണ്ടെത്തുക.
  A: d=7, a₁=7. 7 + (n–1)·7 =100 ⇒7n=100 ⇒n=100/7 (പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല). അതിനാൽ 100 ഒരു പദമല്ല.

  Q: 5, 2, –1, … എന്ന ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ 15 പദങ്ങളുടെ തുക എത്ര?
  A: d=–3, a₁=5. അവസാന പദം a₁₅=5+(14)(–3)=5–42=–37. തുക S₁₅=½·15·(a₁+a₁₅)=7.5·(5+–37)=7.5·(–32)=–240.

  Q: ഒരു സമാന്തരശ്രേണിയിൽ a₈+a₁₂=50. 10-ാം പദത്തിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലുള്ള പദങ്ങളുടെ തുക: a₉+a₁₁= ?
  A: മദ്ധ്യപദത്തിന് ചുറ്റും സമമിതിയുള്ള ഏത് രണ്ട് പദങ്ങളുടെയും തുക മദ്ധ്യപദത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്. ഇവിടെ 8+12=20, 9+11=20 ആയതുകൊണ്ട് a₈+a₁₂=a₉+a₁₁=50.

  ---

  അദ്ധ്യായം 2: വൃത്തങ്ങളും കോണുകളും (Circles and Angles)

  Q: O കേന്ദ്രമായ വൃത്തത്തിൽ, കേന്ദ്രകോൺ AOB=100°. അതേ ചാപം subtend ചെയ്യുന്ന പരിധികോൺ എത്ര?
  A: പരിധികോൺ = കേന്ദ്രകോണിന്റെ പകുതി = 50°. [വൃത്തം വരച്ച് O, A, B, വൃത്തപരിധിയിലെ ഒരു ബിന്ദു C എന്നിവ അടയാളപ്പെടുത്തുക.]

  Q: ഒരു അർദ്ധവൃത്തത്തിലെ ഏത് കോണും മട്ടകോണാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
  A: അർദ്ധവൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രകോൺ = 180°, അതിനാൽ പരിധികോൺ (½·180°) = 90°.

  Q: ചക്രീയ ചതുർഭുജം ABCD-യിൽ, ∠A=70°. ∠C= ?
  A: എതിർകോണുകളുടെ തുക 180°, അതിനാൽ ∠C=180°–70°=110°.

  Q: ഒരേ വൃത്തഖണ്ഡത്തിലെ കോണുകൾക്ക് വേണ്ടിയുള്ള സിദ്ധാന്തം. ഒരു വൃത്തത്തിൽ, AB ഒരു ഞാൺ, C-യും D-യും അതേ ചാപത്തിലെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കൾ. ∠ACB=∠ADB എന്ന് കാണിക്കുക.
  A: രണ്ട് പരിധികോണുകളും ഒരേ ചാപം AB-യെയാണ് ഉൾക്കൊള്ളുന്നത്, അതിനാൽ അവ തുല്യമാണ്.

  Q: ആരം 10 സെ.മീ ആയ ഒരു വൃത്തത്തിൽ, കേന്ദ്രകോൺ 120° ആകുമ്പോൾ ഞാൺ AB-യുടെ നീളം കണ്ടെത്തുക.
  A: ഞാൺ =2R·sin(θ/2)=2·10·sin(60°)=20·(√3/2)=10√3 cm.

  ---

  അദ്ധ്യായം 3: സമാന്തരശ്രേണികളും ബീജഗണിതവും (Arithmetic Sequences and Algebra)

  Q: 8, 13, 18, … എന്ന ശ്രേണിക്ക് ഒരു ബീജഗണിത സൂത്രവാക്യം കണ്ടെത്തുക.
  A: d=5, a₁=8 ⇒aₙ=8+(n–1)·5=5n+3.

  Q: Sₙ=2n²+3n എന്ന് നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ശ്രേണി aₙ കണ്ടെത്തുക.
  A: a₁=S₁=2+3=5. a₂=S₂–S₁=(8+6)–5=14–5=9. അതിനാൽ a₁=5, a₂=9 ⇒d=4. അങ്ങനെ aₙ=4n+1.

  Q: 4, 7, 10, … എന്ന ശ്രേണിക്ക് Sₙ=(3/2)n(n+1)+n എന്ന് കാണിക്കുക.
  A: ഇവിടെ a=3, b=4–3=1, അതിനാൽ Sₙ=½·(3)n(n+1)+n·1=(3/2)n(n+1)+n.

  Q: ആദ്യത്തെ n ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ തുക =n² എന്ന് തെളിയിക്കുക.
  A: ശ്രേണി 1,3,5,… ⇒d=2, a₁=1. Sₙ=½·n·(a₁+aₙ)=½·n·(1+(2n–1))=½·n·2n=n².

  ---

  അദ്ധ്യായം 4: സാധ്യത (Probability)

  Q: ഒരു ബാഗിൽ 5 ചുവപ്പ്, 7 നീല ബോളുകളുണ്ട്. P(ചുവപ്പ്)?
  A: P(ചുവപ്പ്)=5/(5+7)=5/12.

  Q: നിങ്ങൾ രണ്ട് നാണയങ്ങൾ ടോസ് ചെയ്യുന്നു. P(കുറഞ്ഞത് ഒരു ഹെഡ്)?
  A: ആകെ ഫലങ്ങൾ=4. ഒരു ഹെഡും ഇല്ലാത്തത് TT മാത്രം. അതിനാൽ P=1–1/4=3/4.

  Q: 1–20 വരെയുള്ള സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഒരെണ്ണം യാദൃശ്ചികമായി തിരഞ്ഞെടുക്കുക. P(3-ന്റെ ഗുണിതം)?
  A: 20 വരെ 3-ന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ: 3,6,9,12,15,18 ⇒6 ഫലങ്ങൾ. P=6/20=3/10.

  Q: ജ്യാമിതീയ സാധ്യത: ഒരു 10×10 ചതുരത്തിൽ ഒരു പോയിന്റ് യാദൃശ്ചികമായി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. P(അത് വൃത്തത്തിനകത്ത് വരുന്നു)?
  A: വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം=π·5²=25π; ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം=100. P=25π/100=π/4≈0.785.

  Q: രണ്ട് കുടങ്ങൾ: കുടം A-യിൽ 3 വെള്ളയും 2 കറുപ്പും ബോളുകൾ; കുടം B-യിൽ 4 വെള്ളയും 1 കറുപ്പും. ഓരോന്നിൽ നിന്നും ഒരു ബോൾ വീതം; P(രണ്ടും വെള്ള)?
  A: P(A:വെള്ള)=3/5; P(B:വെള്ള)=4/5 ⇒P(രണ്ടും)=3/5·4/5=12/25.

  ---

  അദ്ധ്യായം 5: രണ്ടാംകൃതി സമവാക്യങ്ങൾ (Second Degree Equations)

  Q: x²+6x+8=0 വർഗ്ഗം തികയ്ക്കലിലൂടെ പരിഹരിക്കുക.
  A: x²+6x=–8. 9 കൂട്ടുക: (x+3)²=1 ⇒x+3=±1 ⇒x=–2 അല്ലെങ്കിൽ x=–4.

  Q: ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 224 m² ആണ്, അതിന്റെ വശങ്ങൾ 2 m വ്യത്യാസത്തിലാണ്. വശങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.
  A: ചെറിയ വശം=x, വലിയ വശം=x+2 ⇒x(x+2)=224 ⇒x²+2x–224=0. പരിഹരിക്കുക: വർഗ്ഗം തികയ്ക്കുക അല്ലെങ്കിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക: x=14 അല്ലെങ്കിൽ x=–16 (തള്ളുക). അതിനാൽ വശങ്ങൾ 14, 16 m.

  Q: 99,97,95,… എന്ന ശ്രേണിയുടെ ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ തുക 900 ആണ്. n കണ്ടെത്തുക.
  A: d=–2, a₁=99. Sₙ=½n(2·99+(n–1)(–2))=900 ⇒n(198–2n+2)=1800 ⇒n(200–2n)=1800 ⇒200n–2n²–1800=0 ⇒n²–100n+900=0 ⇒(n–90)(n–10)=0 ⇒n=10 അല്ലെങ്കിൽ 90.

  Q: x²–4x–12=0 പരിഹരിക്കുക; x ഒരു നീളമാണെങ്കിൽ മൂല്യങ്ങൾ വ്യാഖ്യാനിക്കുക.
  A: x²–4x=12 ⇒വർഗ്ഗം തികയ്ക്കുക: (x–2)²=16 ⇒x–2=±4 ⇒x=6 അല്ലെങ്കിൽ x=–2 (നെഗറ്റീവ് തള്ളുക). അതിനാൽ x=6.

  ---

  അദ്ധ്യായം 6: ത്രികോണമിതി (Trigonometry)

  Q: ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിൽ, കോൺ A=30°, കർണ്ണം=10 cm. എതിർവശം കണ്ടെത്തുക.
  A: sin30°=എതിർവശം/കർണ്ണം=എതിർവശം/10 ⇒എതിർവശം=10·½=5 cm.

  Q: 45°–45°–90° ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 1:1:√2 അനുപാതത്തിലാണെന്ന് കാണിക്കുക.
  A: ലംബവശങ്ങൾ=1 എന്ന് കരുതുക. കർണ്ണം²=1²+1²=2 ⇒കർണ്ണം=√2.

  Q: വശങ്ങൾ 8 cm, 10 cm ഉം അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ 40° ഉം ആയ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.
  A: വിസ്തീർണ്ണം=½ab·sin(C)=½·8·10·sin40°≈40·0.643=25.7 cm².

  Q: ഒരു മരത്തിന്റെ മുകൾഭാഗം 20 m അകലെയുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് 35° മേൽക്കോൺ ഉണ്ടാക്കുന്നു. മരത്തിന്റെ ഉയരം എത്ര?
  A: ഉയരം=h ⇒tan35°=h/20 ⇒h=20·tan35°≈20·0.700=14 m.

  Q: 6 cm ആരമുള്ള വൃത്തത്തിൽ, കേന്ദ്രകോൺ 80° ആകുമ്പോൾ ഞാണിന്റെ നീളം എത്ര?
  A: ഞാൺ=2·6·sin(80°/2)=12·sin40°≈12·0.643=7.72 cm.

  ---

  അദ്ധ്യായം 7: സൂചകസംഖ്യകൾ (Coordinates)

  Q: P(2,–1), Q(5,3) എന്നിവയ്ക്കിടയിലുള്ള അകലം?
  A: d=√[(5–2)²+(3+1)²]=√[3²+4²]=5.

  Q: A(0,0), B(4,0), C(4,3) എന്നിവ B-യിൽ ഒരു മട്ടകോൺ ഉണ്ടാക്കുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുക.
  A: AB²=4²+0²=16, BC²=0²+3²=9, AC²=4²+3²=25 ⇒AB²+BC²=16+9=25=AC² ⇒B-യിൽ മട്ടകോൺ.

  Q: എതിർ കോണുകൾ (1,2) ഉം (5,7) ഉം, അക്ഷങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായ വശങ്ങളുമുള്ള ഒരു ചതുരത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം കണ്ടെത്തുക; എല്ലാ ശീർഷകങ്ങളും പട്ടികപ്പെടുത്തുക.
  A: മറ്റ് രണ്ട് ശീർഷങ്ങൾ (1,7) ഉം (5,2) ഉം.

  Q: (0,0) ഉം (6,4) ഉം മൂലകളായ ചതുരത്തിന്റെ വികർണ്ണത്തെ ഒരു ബിന്ദു P വിഭജിക്കുന്നു. (0,0) ലേക്കും (6,4) ലേക്കുമുള്ള ദൂരങ്ങൾ തുല്യമാണ്. P കണ്ടെത്തുക.
  A: P വികർണ്ണത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുവാണ്: ((0+6)/2, (0+4)/2)=(3,2).

  Q: A(0,0), B(a,0), C(a,b), D(0,b) ശീർഷങ്ങളുള്ള ചതുരം. ഉള്ളിലെ ഒരു ബിന്ദു P(x,y)-ക്ക് PA=5, PB=4, PC=3. PD കണ്ടെത്തുക.
  A: PA²=x²+y²=25; PB²=(x–a)²+y²=16; PC²=(x–a)²+(y–b)²=9. ആദ്യത്തെ രണ്ടെണ്ണം കുറയ്ക്കുക: (x–a)²–x²=16–25=–9 ⇒a²–2ax=–9 ⇒2ax=x²–(x–a)²+9 ⇒… അങ്ങനെ. a,b,x,y എന്നിവയ്ക്ക് പരിഹാരം കണ്ട ശേഷം PD²=(x–0)²+(y–b)². അവസാന ഉത്തരം PD=3√2.